Номер 30.24, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.24, страница 248.

Условие.

30.24. Числа $p$ и $p^2+2$ — простые. Найдите $p$.

Решение.

По условию задачи, $p$ и $p^2 + 2$ являются простыми числами.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Рассмотрим несколько первых простых чисел в качестве возможных значений $p$.

1. Если $p = 2$ (первое простое число), то $p^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$. Число 6 не является простым, так как оно делится на 2 и 3. Следовательно, $p = 2$ не подходит.

2. Если $p = 3$, то $p^2 + 2 = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. Число 11 является простым. Поскольку $p=3$ также является простым, это значение удовлетворяет условию задачи.

3. Теперь рассмотрим случай, когда $p$ — простое число, большее 3. Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 число $p$ может давать в остатке либо 1, либо 2.

• Случай 1: $p$ дает остаток 1 при делении на 3.
  Это можно записать как $p = 3k + 1$ для некоторого целого числа $k \ge 1$.
  Тогда $p^2 + 2 = (3k + 1)^2 + 2 = (9k^2 + 6k + 1) + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3(3k^2 + 2k + 1)$.
  Выражение $p^2 + 2$ делится на 3. Поскольку $p > 3$, то $p^2 + 2 > 3^2 + 2 = 11$. Так как $p^2 + 2$ — это число, большее 3, и оно делится на 3, оно является составным, а не простым.
• Случай 2: $p$ дает остаток 2 при делении на 3.
  Это можно записать как $p = 3k + 2$ для некоторого целого числа $k \ge 1$.
  Тогда $p^2 + 2 = (3k + 2)^2 + 2 = (9k^2 + 12k + 4) + 2 = 9k^2 + 12k + 6 = 3(3k^2 + 4k + 2)$.
  В этом случае выражение $p^2 + 2$ также делится на 3. И так как $p > 3$, то $p^2 + 2 > 11$. Следовательно, $p^2 + 2$ является составным числом.

Таким образом, для любого простого числа $p > 3$ число $p^2 + 2$ является составным. Единственный случай, когда оба числа, $p$ и $p^2 + 2$, являются простыми, — это когда $p=3$.

Ответ: 3.