Номер 30.29, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.29, страница 248.

Условие.

30.29. Натуральные числа $m, n, k$ таковы, что числа $p = m + n, q = n + k$ и $r = m + k$ являются простыми. Докажите, что одно из чисел $p, q, r$ равно 2.

Решение.

По условию, $m, n, k$ являются натуральными числами, а числа $p = m + n$, $q = n + k$ и $r = m + k$ — простыми.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что ни одно из чисел $p, q, r$ не равно 2.

Так как 2 — единственное четное простое число, наше предположение означает, что $p, q$ и $r$ должны быть нечетными простыми числами.

Рассмотрим сумму этих трех чисел: $S = p + q + r$.

С одной стороны, так как $p, q$ и $r$ — нечетные числа, их сумма $S$ также будет нечетной. (Сумма трех нечетных чисел всегда нечетна).

С другой стороны, выразим $S$ через $m, n$ и $k$:$S = (m + n) + (n + k) + (m + k) = 2m + 2n + 2k = 2(m + n + k)$. Из этой формулы следует, что сумма $S$ является четным числом, так как она кратна 2.

Таким образом, мы приходим к противоречию: сумма $S$ не может быть одновременно и нечетной, и четной.

Следовательно, наше исходное предположение неверно. Это означает, что хотя бы одно из чисел $p, q$ или $r$ должно быть четным. Поскольку $p, q$ и $r$ по условию являются простыми числами, а единственное четное простое число — это 2, то одно из чисел $p, q$ или $r$ обязательно равно 2.

Ответ: Утверждение доказано.