Номер 30.31, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.31, страница 248.

Условие.

30.31. Докажите, что при любом натуральном $a$ значение выражения $a^{14} + 13a^2$ кратно 7.

Решение.

Для доказательства того, что значение выражения $a^{14} + 13a^2$ кратно 7 при любом натуральном $a$, мы воспользуемся свойствами сравнений по модулю и малой теоремой Ферма.

Задача сводится к доказательству того, что $a^{14} + 13a^2$ делится на 7 без остатка, что в терминах сравнений по модулю записывается как:$a^{14} + 13a^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Сначала упростим выражение по модулю 7. Коэффициент 13 при делении на 7 дает в остатке 6. Удобнее работать с отрицательным остатком: $13 = 2 \cdot 7 - 1$, следовательно, $13 \equiv -1 \pmod{7}$. Тогда наше выражение сравнимо с:$a^{14} + 13a^2 \equiv a^{14} + (-1)a^2 \equiv a^{14} - a^2 \pmod{7}$.

Теперь нам нужно доказать, что $a^{14} - a^2$ кратно 7. Для этого применим малую теорему Ферма, которая утверждает, что для любого целого числа $a$ и простого числа $p$ выполняется сравнение $a^p \equiv a \pmod{p}$.

В нашем случае $p=7$, которое является простым числом. По малой теореме Ферма для любого натурального $a$ справедливо:$a^7 \equiv a \pmod{7}$.

Возведём обе части этого сравнения в квадрат, чтобы получить выражение для $a^{14}$:$(a^7)^2 \equiv a^2 \pmod{7}$$a^{14} \equiv a^2 \pmod{7}$.

Теперь подставим полученный результат в наше преобразованное выражение:$a^{14} - a^2 \equiv a^2 - a^2 \pmod{7}$.$a^{14} - a^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Мы показали, что $a^{14} + 13a^2 \equiv a^{14} - a^2 \pmod{7}$ и $a^{14} - a^2 \equiv 0 \pmod{7}$. Следовательно, $a^{14} + 13a^2 \equiv 0 \pmod{7}$ для любого натурального числа $a$. Это означает, что значение выражения $a^{14} + 13a^2$ всегда кратно 7.

Ответ: Утверждение доказано.