Номер 30.37, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.37, страница 249.

Условие.

30.37. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению

$q - p^2 = 2$.

Решение.

Дано уравнение $q - p^2 = 2$, где $p$ и $q$ — простые числа.

Выразим $q$ из уравнения: $q = p^2 + 2$.

Рассмотрим возможные значения для простого числа $p$.

Если $p = 2$ (единственное четное простое число), то $q = 2^2 + 2 = 6$. Число 6 не является простым, так как делится на 2 и 3. Следовательно, $p = 2$ не подходит.

Если $p = 3$, то $q = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. Число 11 является простым. Таким образом, пара чисел $(p, q) = (3, 11)$ является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда $p$ — простое число, большее 3. Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает $p^2$.

Если остаток от деления $p$ на 3 равен 1, то $p^2$ при делении на 3 также даст в остатке 1. ($p \equiv 1 \pmod{3} \implies p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$).

Если остаток от деления $p$ на 3 равен 2, то $p^2$ при делении на 3 даст в остатке 4, что эквивалентно остатку 1. ($p \equiv 2 \pmod{3} \implies p^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$).

Таким образом, для любого простого числа $p > 3$, его квадрат $p^2$ при делении на 3 дает в остатке 1.

Вернемся к выражению для $q$: $q = p^2 + 2$. Поскольку $p^2$ дает остаток 1 при делении на 3, $q$ будет делиться на 3 без остатка: $q = p^2 + 2 \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что $q$ кратно 3. Единственное простое число, кратное 3, это само число 3. Значит, $q = 3$.

Подставим $q = 3$ в исходное уравнение: $3 - p^2 = 2$, что дает $p^2 = 1$. Отсюда $p = 1$ или $p = -1$. Ни одно из этих значений не является простым числом. Следовательно, для $p > 3$ решений не существует.

Единственная найденная пара простых чисел, удовлетворяющая уравнению, — это $p=3$ и $q=11$.

Ответ: $p=3$, $q=11$.