Номер 30.39, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.39, страница 249.

Условие.

30.39. Натуральное число $n$ таково, что числа $2n - 1$ и $n + 12$ делятся на-цело на простое число $p$. Найдите $p$.

Решение.

По условию задачи, натуральное число $n$ и простое число $p$ таковы, что числа $(2n - 1)$ и $(n + 12)$ делятся на $p$.

Запишем это с помощью символа делимости:

$(2n - 1) \vdots p$

$(n + 12) \vdots p$

Если число $(n + 12)$ делится на $p$, то и число, умноженное на 2, то есть $2(n + 12)$, также делится на $p$.

$2(n + 12) = 2n + 24$

Таким образом, мы имеем два числа, которые делятся на $p$: $2n - 1$ и $2n + 24$.

Если два числа делятся на $p$, то их разность также делится на $p$. Вычтем из второго числа первое:

$(2n + 24) - (2n - 1) = 2n + 24 - 2n + 1 = 25$

Следовательно, число 25 должно делиться на $p$. Это означает, что $p$ является простым делителем числа 25.

Разложим 25 на простые множители: $25 = 5^2$.

Единственным простым делителем числа 25 является 5.

Значит, $p = 5$.

Убедимся, что такое натуральное число $n$ существует. Если $p=5$, то $n+12$ должно делиться на 5. Например, это может быть при $n=3$ (так как $3+12=15$, а 15 делится на 5). Проверим для $n=3$ второе число: $2n-1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Число 5 также делится на 5. Таким образом, условия задачи выполняются, например, для $n=3$ и $p=5$.

Ответ: 5