Номер 30.42, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.42, страница 249.

Условие.

30.42. Найдите все простые числа, которые можно представить в виде суммы двух составных чисел.

Решение.

Пусть $p$ — простое число, которое можно представить в виде суммы двух составных чисел $a$ и $b$. То есть, $p = a + b$, где $a$ и $b$ — составные числа.

Составные числа — это натуральные числа больше 1, не являющиеся простыми. Наименьшие составные числа: 4, 6, 8, 9, 10, ...
Наименьшее составное число — это 4. Следовательно, наименьшая возможная сумма двух составных чисел равна $4 + 4 = 8$.

Отсюда следует, что любое простое число $p$, которое можно представить в виде суммы двух составных чисел, должно быть не меньше 8. То есть $p \ge 8$.

Рассмотрим простые числа по порядку:

• Простые числа 2, 3, 5, 7. Все они меньше 8, поэтому их нельзя представить в виде суммы двух составных чисел.
• Простое число 2 (единственное чётное простое число) также не может быть суммой двух составных чисел, так как наименьшая такая сумма равна 8.
• Рассмотрим нечётные простые числа $p \ge 3$. Если нечётное число $p$ является суммой двух чисел $a$ и $b$, то одно из этих чисел должно быть чётным, а другое — нечётным.
• Следующее простое число после 7 — это 11. Попытаемся представить 11 в виде суммы двух составных чисел. Одно слагаемое должно быть чётным составным числом (4, 6, 8, ...), а другое — нечётным составным (9, 15, ...).
  Возможные разложения 11 на два слагаемых (больших 1):
  $11 = 2 + 9$ (2 — простое)
  $11 = 3 + 8$ (3 — простое)
  $11 = 4 + 7$ (7 — простое)
  $11 = 5 + 6$ (5 — простое)
  Во всех случаях одно из слагаемых является простым числом. Таким образом, число 11 нельзя представить в виде суммы двух составных чисел.
• Следующее простое число — 13. Попробуем представить 13 в виде суммы чётного составного и нечётного составного числа. Возьмём наименьшее нечётное составное число — 9. Тогда второе слагаемое будет $13 - 9 = 4$. Число 4 является чётным составным числом ($4=2 \cdot 2$). Число 9 является нечётным составным числом ($9=3 \cdot 3$). Следовательно, $13 = 4 + 9$. Число 13 можно представить в виде суммы двух составных чисел.

Теперь рассмотрим любое простое число $p > 11$. Все простые числа $p > 2$ являются нечётными. Докажем, что любое простое число $p \ge 13$ можно представить в виде суммы двух составных чисел.

Возьмём любое простое число $p \ge 13$. Так как $p$ — нечётное, то число $p-9$ будет чётным (как разность двух нечётных чисел). Поскольку $p \ge 13$, то $p-9 \ge 13-9 = 4$.

Таким образом, $p-9$ — это чётное число, большее или равное 4. Любое такое число является составным (оно делится на 2 и, будучи больше 2, не является простым).

Следовательно, для любого простого числа $p \ge 13$ мы можем записать равенство: $p = (p-9) + 9$.

В этом равенстве слагаемое $(p-9)$ является составным числом (так как это чётное число $\ge 4$), и слагаемое 9 также является составным числом. Таким образом, все простые числа, начиная с 13, можно представить в виде суммы двух составных чисел.

Примеры:
$13 = 4 + 9$
$17 = 8 + 9$
$19 = 10 + 9$
$23 = 14 + 9$

Итого, искомые простые числа — это все простые числа, которые больше или равны 13.

Ответ: все простые числа, большие или равные 13.