Номер 31.1, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.1, страница 257.
№31.1 (с. 257)
Условие. №31.1 (с. 257)
скриншот условия
 
                                31.1. Докажите, что многочлен A(x) делится нацело на многочлен B(x):
1) $A(x) = x^2 - 7x + 6, B(x) = x - 6;$
2) $A(x) = x^4 - 1, B(x) = x^3 + x^2 + x + 1;$
3) $A(x) = 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x - 1, B(x) = x^3 - 2x^2 + 1.$
Решение. №31.1 (с. 257)
1) $A(x) = x^2 - 7x + 6$, $B(x) = x - 6$
Чтобы доказать, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, многочлен $A(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка тогда и только тогда, когда $A(c) = 0$.
В нашем случае $B(x) = x - 6$, следовательно, корень этого многочлена $c = 6$.
Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = 6$:
$A(6) = 6^2 - 7 \cdot 6 + 6 = 36 - 42 + 6 = -6 + 6 = 0$.
Так как $A(6) = 0$, то многочлен $A(x)$ делится на $B(x) = x - 6$ нацело, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $A(x)$ делится нацело на $B(x)$.
2) $A(x) = x^4 - 1$, $B(x) = x^3 + x^2 + x + 1$
Для доказательства разложим оба многочлена на множители.
Многочлен $A(x)$ является разностью квадратов:
$A(x) = x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.
В свою очередь, $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов:
$A(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.
Теперь разложим на множители многочлен $B(x)$, используя метод группировки:
$B(x) = x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$.
Чтобы проверить, делится ли $A(x)$ на $B(x)$, найдем частное от их деления, представив их в виде дроби:
$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x + 1)(x^2 + 1)}$.
Сократив общие множители $(x+1)$ и $(x^2+1)$, получим:
$\frac{A(x)}{B(x)} = x - 1$.
Результатом деления является многочлен $x-1$, а остаток равен нулю. Следовательно, $A(x)$ делится на $B(x)$ нацело.
Ответ: Доказано, что $A(x)$ делится нацело на $B(x)$.
3) $A(x) = 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x - 1$, $B(x) = x^3 - 2x^2 + 1$
Для доказательства того, что $A(x)$ делится на $B(x)$ нацело, выполним деление многочленов "уголком", подробно описывая шаги.
- Делим старший член делимого ($3x^4$) на старший член делителя ($x^3$). Получаем первый член частного: $3x^4 / x^3 = 3x$.
- Умножаем делитель $B(x)$ на полученный член частного $3x$:
 $3x \cdot (x^3 - 2x^2 + 1) = 3x^4 - 6x^3 + 3x$.
- Вычитаем полученный многочлен из делимого $A(x)$, чтобы найти первый остаток:
 $(3x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (3x^4 - 6x^3 + 3x) = -x^3 + 2x^2 - 1$.
- Полученный остаток $-x^3 + 2x^2 - 1$ становится новым делимым. Делим его старший член ($-x^3$) на старший член делителя ($x^3$). Получаем второй член частного: $-x^3 / x^3 = -1$.
- Умножаем делитель $B(x)$ на второй член частного $-1$:
 $-1 \cdot (x^3 - 2x^2 + 1) = -x^3 + 2x^2 - 1$.
- Вычитаем результат из нового делимого:
 $(-x^3 + 2x^2 - 1) - (-x^3 + 2x^2 - 1) = 0$.
Так как итоговый остаток от деления равен 0, это доказывает, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$. Частное от деления равно $3x - 1$.
Ответ: Доказано, что $A(x)$ делится нацело на $B(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 31.1 расположенного на странице 257 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.1 (с. 257), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    