Номер 31.1, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.1, страница 257.

Условие.

31.1. Докажите, что многочлен A(x) делится нацело на многочлен B(x):

1) $A(x) = x^2 - 7x + 6, B(x) = x - 6;$

2) $A(x) = x^4 - 1, B(x) = x^3 + x^2 + x + 1;$

3) $A(x) = 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x - 1, B(x) = x^3 - 2x^2 + 1.$

Решение.

1) $A(x) = x^2 - 7x + 6$, $B(x) = x - 6$

Чтобы доказать, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, многочлен $A(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка тогда и только тогда, когда $A(c) = 0$.

В нашем случае $B(x) = x - 6$, следовательно, корень этого многочлена $c = 6$.

Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = 6$:

$A(6) = 6^2 - 7 \cdot 6 + 6 = 36 - 42 + 6 = -6 + 6 = 0$.

Так как $A(6) = 0$, то многочлен $A(x)$ делится на $B(x) = x - 6$ нацело, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $A(x)$ делится нацело на $B(x)$.

2) $A(x) = x^4 - 1$, $B(x) = x^3 + x^2 + x + 1$

Для доказательства разложим оба многочлена на множители.

Многочлен $A(x)$ является разностью квадратов:

$A(x) = x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

В свою очередь, $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов:

$A(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Теперь разложим на множители многочлен $B(x)$, используя метод группировки:

$B(x) = x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$.

Чтобы проверить, делится ли $A(x)$ на $B(x)$, найдем частное от их деления, представив их в виде дроби:

$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x + 1)(x^2 + 1)}$.

Сократив общие множители $(x+1)$ и $(x^2+1)$, получим:

$\frac{A(x)}{B(x)} = x - 1$.

Результатом деления является многочлен $x-1$, а остаток равен нулю. Следовательно, $A(x)$ делится на $B(x)$ нацело.

Ответ: Доказано, что $A(x)$ делится нацело на $B(x)$.

3) $A(x) = 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x - 1$, $B(x) = x^3 - 2x^2 + 1$

Для доказательства того, что $A(x)$ делится на $B(x)$ нацело, выполним деление многочленов "уголком", подробно описывая шаги.

1. Делим старший член делимого ($3x^4$) на старший член делителя ($x^3$). Получаем первый член частного: $3x^4 / x^3 = 3x$.
2. Умножаем делитель $B(x)$ на полученный член частного $3x$:
   $3x \cdot (x^3 - 2x^2 + 1) = 3x^4 - 6x^3 + 3x$.
3. Вычитаем полученный многочлен из делимого $A(x)$, чтобы найти первый остаток:
   $(3x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (3x^4 - 6x^3 + 3x) = -x^3 + 2x^2 - 1$.
4. Полученный остаток $-x^3 + 2x^2 - 1$ становится новым делимым. Делим его старший член ($-x^3$) на старший член делителя ($x^3$). Получаем второй член частного: $-x^3 / x^3 = -1$.
5. Умножаем делитель $B(x)$ на второй член частного $-1$:
   $-1 \cdot (x^3 - 2x^2 + 1) = -x^3 + 2x^2 - 1$.
6. Вычитаем результат из нового делимого:
   $(-x^3 + 2x^2 - 1) - (-x^3 + 2x^2 - 1) = 0$.

Так как итоговый остаток от деления равен 0, это доказывает, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$. Частное от деления равно $3x - 1$.

Ответ: Доказано, что $A(x)$ делится нацело на $B(x)$.