Номер 31.2, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.2, страница 257.

Условие.

31.2. Докажите, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$:

1) $A(x) = x^3 - 1$, $B(x) = x^2 + x + 1$;

2) $A(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$, $B(x) = 2x^2 - 3x + 1$;

3) $A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$, $B(x) = x^2 - x + 1.$

Решение.

1)

Чтобы доказать, что многочлен $A(x) = x^3 - 1$ делится нацело на многочлен $B(x) = x^2 + x + 1$, воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применим эту формулу к многочлену $A(x)$:

$A(x) = x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2+x+1)$.

В полученном разложении один из множителей совпадает с многочленом $B(x) = x^2+x+1$. Это означает, что $A(x)$ можно представить в виде произведения $B(x)$ и другого многочлена, а именно $x-1$.

$A(x) = (x-1) \cdot B(x)$.

Следовательно, многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, так как остаток от деления равен нулю.

Ответ: Многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка. Частное равно $x-1$.

2)

Чтобы доказать, что $A(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ делится на $B(x) = 2x^2 - 3x + 1$, выполним деление многочлена на многочлен столбиком.

1. Делим старший член $4x^3$ на старший член $2x^2$. Получаем $2x$. Это первый член частного.

2. Умножаем $B(x)$ на $2x$: $2x(2x^2 - 3x + 1) = 4x^3 - 6x^2 + 2x$.

3. Вычитаем полученный результат из $A(x)$: $(4x^3 - 8x^2 + 5x - 1) - (4x^3 - 6x^2 + 2x) = -2x^2 + 3x - 1$.

4. Делим старший член остатка, $-2x^2$, на старший член $B(x)$, $2x^2$. Получаем $-1$. Это второй член частного.

5. Умножаем $B(x)$ на $-1$: $-1(2x^2 - 3x + 1) = -2x^2 + 3x - 1$.

6. Вычитаем из остатка, полученного на шаге 3: $(-2x^2 + 3x - 1) - (-2x^2 + 3x - 1) = 0$.

Поскольку в результате деления остаток равен нулю, многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$.

Ответ: Многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка. Частное равно $2x-1$.

3)

Чтобы доказать, что $A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$ делится на $B(x) = x^2 - x + 1$, выполним деление многочлена на многочлен столбиком. Для удобства запишем $A(x)$ с нулевым коэффициентом при $x$: $A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 0x + 1$.

1. Делим старший член $2x^4$ на старший член $x^2$, получаем $2x^2$.

2. Умножаем $B(x)$ на $2x^2$: $2x^2(x^2 - x + 1) = 2x^4 - 2x^3 + 2x^2$.

3. Вычитаем из $A(x)$: $(2x^4 - x^3 + 2x^2 + 0x + 1) - (2x^4 - 2x^3 + 2x^2) = x^3 + 0x^2 + 0x + 1$.

4. Делим старший член остатка, $x^3$, на $x^2$, получаем $x$.

5. Умножаем $B(x)$ на $x$: $x(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x$.

6. Вычитаем из остатка, полученного на шаге 3: $(x^3 + 0x^2 + 0x + 1) - (x^3 - x^2 + x) = x^2 - x + 1$.

7. Делим старший член нового остатка, $x^2$, на $x^2$, получаем $1$.

8. Умножаем $B(x)$ на $1$: $1(x^2 - x + 1) = x^2 - x + 1$.

9. Вычитаем: $(x^2 - x + 1) - (x^2 - x + 1) = 0$.

Остаток от деления равен 0, следовательно, многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$.

Ответ: Многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка. Частное равно $2x^2 + x + 1$.