Номер 31.9, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.9, страница 258.

Условие.

31.9. Решите систему неравенств $ \begin{cases} \frac{3x - 1}{4} + \frac{x + 1}{3} \ge \frac{4x + 1}{4}, \\ \frac{5x - 2}{2} + \frac{x - 8}{3} \le x. \end{cases} $

Решение.

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:
$ \frac{3x-1}{4} + \frac{x+1}{3} \geq \frac{4x+1}{4} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12:
$ 12 \cdot (\frac{3x-1}{4}) + 12 \cdot (\frac{x+1}{3}) \geq 12 \cdot (\frac{4x+1}{4}) $
$ 3(3x-1) + 4(x+1) \geq 3(4x+1) $
Раскроем скобки:
$ 9x - 3 + 4x + 4 \geq 12x + 3 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 13x + 1 \geq 12x + 3 $
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$ 13x - 12x \geq 3 - 1 $
$ x \geq 2 $
Решением первого неравенства является промежуток $[2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$ \frac{5x-2}{2} + \frac{x-8}{3} \leq x $
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:
$ 6 \cdot (\frac{5x-2}{2}) + 6 \cdot (\frac{x-8}{3}) \leq 6 \cdot x $
$ 3(5x-2) + 2(x-8) \leq 6x $
Раскроем скобки:
$ 15x - 6 + 2x - 16 \leq 6x $
Приведем подобные слагаемые:
$ 17x - 22 \leq 6x $
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$ 17x - 6x \leq 22 $
$ 11x \leq 22 $
Разделим обе части на 11:
$ x \leq 2 $
Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 2]$.

3. Найдем решение системы:
Мы получили, что решение системы должно удовлетворять двум условиям одновременно:
$ \begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq 2 \end{cases} $
Единственное число, которое одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 2, — это число 2.

Ответ: 2.