Номер 32.3, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.3, страница 262.

Условие.

32.3. Докажите, что многочлен $A(x)$ делится нацело на двучлен $B(x)$:

1) $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2$, $B(x) = x + 2$;

2) $A(x) = 3x^4 - 8x^3 + 2x^2 + 5x - 2$, $B(x) = x - 2$;

3) $A(x) = 5x^5 - 6x^4 - x^2 + x + 1$, $B(x) = x - 1$;

4) $A(x) = x^6 - 3x^5 - x^4 + 2x^3 + 3x^2 + x - 3$, $B(x) = x - 3$.

Решение.

Для доказательства того, что многочлен $A(x)$ делится нацело на двучлен $B(x)$, используется следствие из теоремы Безу. Оно гласит, что многочлен $A(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $c$ является корнем многочлена, то есть $A(c) = 0$.

1) $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2$, $B(x) = x + 2$

Для двучлена $B(x) = x + 2$, который можно представить в виде $x - (-2)$, имеем $c = -2$.

Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = -2$:

$A(-2) = 2(-2)^3 + 7(-2)^2 + 7(-2) + 2 = 2 \cdot (-8) + 7 \cdot 4 - 14 + 2 = -16 + 28 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0$.

Поскольку $A(-2) = 0$, многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ нацело.

Ответ: Доказано.

2) $A(x) = 3x^4 - 8x^3 + 2x^2 + 5x - 2$, $B(x) = x - 2$

Для двучлена $B(x) = x - 2$ имеем $c = 2$.

Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = 2$:

$A(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 + 2(2)^2 + 5(2) - 2 = 3 \cdot 16 - 8 \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 10 - 2 = 48 - 64 + 8 + 10 - 2 = -16 + 18 - 2 = 0$.

Так как $A(2) = 0$, то многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка.

Ответ: Доказано.

3) $A(x) = 5x^5 - 6x^4 - x^2 + x + 1$, $B(x) = x - 1$

Для двучлена $B(x) = x - 1$ имеем $c = 1$.

Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = 1$:

$A(1) = 5(1)^5 - 6(1)^4 - (1)^2 + 1 + 1 = 5 - 6 - 1 + 1 + 1 = -1 - 1 + 2 = 0$.

Поскольку $A(1) = 0$, многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ нацело.

Ответ: Доказано.

4) $A(x) = x^6 - 3x^5 - x^4 + 2x^3 + 3x^2 + x - 3$, $B(x) = x - 3$

Для двучлена $B(x) = x - 3$ имеем $c = 3$.

Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = 3$:

$A(3) = (3)^6 - 3(3)^5 - (3)^4 + 2(3)^3 + 3(3)^2 + 3 - 3$.

Учитывая, что $3 \cdot 3^5 = 3^6$, получаем:

$A(3) = 3^6 - 3^6 - 3^4 + 2 \cdot 27 + 3 \cdot 9 + 0 = 0 - 81 + 54 + 27 = -81 + 81 = 0$.

Так как $A(3) = 0$, то многочлен $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка.

Ответ: Доказано.