Номер 32.4, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.4, страница 262.

Условие.

32.4. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$, где $n \in \mathbb{N}$, делится нацело на многочлен, тождественно равный выражению $x(x + 1)(2x + 1)$.

Решение.

Обозначим многочлен $P(x) = (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$ и многочлен-делитель $Q(x) = x(x + 1)(2x + 1)$. Для того чтобы доказать, что многочлен $P(x)$ делится нацело на многочлен $Q(x)$, необходимо и достаточно доказать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются и корнями многочлена $P(x)$. Это следует из теоремы Безу, поскольку все корни $Q(x)$ различны (имеют кратность 1).

Найдём корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x(x + 1)(2x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ и $x_3 = -1/2$.

Теперь последовательно подставим эти корни в многочлен $P(x)$ и проверим, обращается ли он в ноль.

1. При $x = 0$:
$P(0) = (0 + 1)^{2n} - 0^{2n} - 2(0) - 1 = 1^{2n} - 0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Следовательно, $P(x)$ делится на $(x - 0)$, то есть на $x$.

2. При $x = -1$:
$P(-1) = (-1 + 1)^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1$.
Так как $n \in \mathbb{N}$, то $2n$ — это натуральное чётное число ($2n \ge 2$). Поэтому $0^{2n} = 0$ и $(-1)^{2n} = 1$.
$P(-1) = 0 - 1 + 2 - 1 = 0$.
Следовательно, $P(x)$ делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$.

3. При $x = -1/2$:
$P(-1/2) = (-1/2 + 1)^{2n} - (-1/2)^{2n} - 2(-1/2) - 1 = (1/2)^{2n} - (-1/2)^{2n} + 1 - 1$.
Так как $2n$ — чётное число, то $(-1/2)^{2n} = (1/2)^{2n}$.
$P(-1/2) = (1/2)^{2n} - (1/2)^{2n} + 1 - 1 = 0$.
Следовательно, $P(x)$ делится на $(x - (-1/2))$, то есть на $(x+1/2)$, а значит и на $(2x+1)$.

Поскольку многочлен $P(x)$ делится на каждый из взаимно простых множителей $x$, $(x+1)$ и $(2x+1)$, он делится и на их произведение, то есть на $Q(x) = x(x+1)(2x+1)$.

Таким образом, доказано, что многочлен $(x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$ делится нацело на многочлен $x(x + 1)(2x + 1)$ при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.