Номер 32.1, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.1, страница 262.

Условие.

32.1. Найдите остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $B(x):$

1) $A(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$, $B(x) = x - 1$;

2) $A(x) = 2x^4 - 4x^3 - x - 1$, $B(x) = x + 2$.

Решение.

1) Для нахождения остатка от деления многочлена $A(x)$ на двучлен вида $x-c$ используется теорема Безу (следствие из теоремы о делении многочленов с остатком). Согласно этой теореме, остаток $R$ равен значению многочлена $A(x)$ в точке $c$, то есть $R = A(c)$.
В данном случае имеем многочлен $A(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$ и двучлен $B(x) = x - 1$.
Из вида двучлена $B(x) = x - 1$ следует, что $c = 1$.
Теперь вычислим значение многочлена $A(x)$ при $x = 1$:
$A(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 \cdot 1 + 3 + 1 = 1 + 2 + 3 + 1 = 7$.
Таким образом, остаток от деления $A(x)$ на $B(x)$ равен 7.
Ответ: 7

2) Аналогично, используем теорему Безу для многочлена $A(x) = 2x^4 - 4x^3 - x - 1$ и двучлена $B(x) = x + 2$.
Представим двучлен $B(x) = x + 2$ в виде $x - c$: $x + 2 = x - (-2)$. Отсюда $c = -2$.
Вычислим значение многочлена $A(x)$ при $x = -2$:
$A(-2) = 2(-2)^4 - 4(-2)^3 - (-2) - 1 = 2 \cdot 16 - 4 \cdot (-8) + 2 - 1 = 32 + 32 + 2 - 1 = 65$.
Таким образом, остаток от деления $A(x)$ на $B(x)$ равен 65.
Ответ: 65