Номер 31.5, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.5, страница 258.

Условие.

31.5. Докажите, что многочлен $A(x)$ не делится нацело на многочлен $B(x)$:

1) $A(x) = x^2 + 1, B(x) = x - 1$;

2) $A(x) = x^3 + x - 1, B(x) = x + 1$;

3) $A(x) = 2x^4 - 3x^3 - x + 1, B(x) = x^2 - 3x + 2$.

Решение.

1) $A(x) = x^2 + 1$, $B(x) = x - 1$

Согласно следствию из теоремы Безу (теореме о корне), многочлен $A(x)$ делится на двучлен $(x-c)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $c$ является корнем многочлена $A(x)$, то есть $A(c)=0$.

Для многочлена $B(x) = x - 1$, значение $c=1$. Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x=1$:
$A(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Поскольку $A(1) = 2 \neq 0$, многочлен $A(x)$ не делится нацело на многочлен $B(x)$.

Ответ: Доказано, что $A(x)$ не делится нацело на $B(x)$.

2) $A(x) = x^3 + x - 1$, $B(x) = x + 1$

Чтобы доказать, что $A(x)$ не делится на $B(x) = x + 1$, достаточно проверить, является ли корень многочлена $B(x)$ корнем многочлена $A(x)$.

Найдем корень $B(x)$:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Теперь вычислим значение $A(x)$ в этой точке:
$A(-1) = (-1)^3 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3$.

Так как $A(-1) = -3 \neq 0$, то $A(x)$ не делится на $B(x)$ без остатка.

Ответ: Доказано, что $A(x)$ не делится нацело на $B(x)$.

3) $A(x) = 2x^4 - 3x^3 - x + 1$, $B(x) = x^2 - 3x + 2$

Если многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, то все корни многочлена $B(x)$ должны быть также и корнями многочлена $A(x)$. Найдем корни $B(x)$, решив уравнение $B(x)=0$:

$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x-1)(x-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, являются ли эти значения корнями многочлена $A(x)$. Достаточно проверить одно из них. Проверим $x_1 = 1$:
$A(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 - 1 + 1 = 2 - 3 - 1 + 1 = -1$.

Поскольку $A(1) = -1 \neq 0$, мы нашли корень многочлена $B(x)$, который не является корнем многочлена $A(x)$. Следовательно, многочлен $A(x)$ не может делиться нацело на многочлен $B(x)$.

Ответ: Доказано, что $A(x)$ не делится нацело на $B(x)$.