Номер 31.4, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.4, страница 258.

Условие.

31.4. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4$, $B(x) = x^2 - x + 1$;

2) $A(x) = x^7 - 1$, $B(x) = x^3 + x + 1$;

3) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6$, $B(x) = x - 2$.

Решение.

1) Выполним деление многочлена $A(x) = x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4$ на многочлен $B(x) = x^2 - x + 1$ «уголком». Для удобства записи в многочлене $A(x)$ добавим члены с нулевыми коэффициентами для отсутствующих степеней $x$: $A(x) = x^5 + 0x^4 - 6x^3 + 2x^2 + 0x - 4$.

_x⁵ + 0x⁴ - 6x³ + 2x² + 0x - 4 | x² - x + 1 x⁵ - x⁴ + x³ |------------------ ---------------------------- x³ + x² - 6x - 5 _x⁴ - 7x³ + 2x² x⁴ - x³ + x² ------------------ _-6x³ + x² + 0x -6x³ + 6x² - 6x ----------------- _-5x² + 6x - 4 -5x² + 5x - 5 ------------- x + 1 

В результате деления получили неполное частное $Q(x) = x^3 + x^2 - 6x - 5$ и остаток $R(x) = x + 1$.

Ответ: неполное частное $x^3 + x^2 - 6x - 5$, остаток $x + 1$.

2) Выполним деление многочлена $A(x) = x^7 - 1$ на многочлен $B(x) = x^3 + x + 1$. Запишем делимое, добавив члены с нулевыми коэффициентами для отсутствующих степеней $x$: $A(x) = x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.

_x⁷ + 0x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x - 1 | x³ + x + 1 x⁷ + x⁵ + x⁴ |------------------- --------------------------------------- x⁴ - x² - x + 1 _ -x⁵ - x⁴ + 0x³ -x⁵ - x³ - x² ------------------- _ -x⁴ + x³ + x² + 0x -x⁴ - x² - x ------------------ _x³ + 2x² + x - 1 x³ + x + 1 --------------- 2x² - 2 

В результате деления получили неполное частное $Q(x) = x^4 - x^2 - x + 1$ и остаток $R(x) = 2x^2 - 2$.

Ответ: неполное частное $x^4 - x^2 - x + 1$, остаток $2x^2 - 2$.

3) Выполним деление многочлена $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6$ на многочлен $B(x) = x - 2$.

_x³ + 5x² - 6x - 6 | x - 2 x³ - 2x² |----------- ---------- x² + 7x + 8 _7x² - 6x 7x² - 14x --------- _8x - 6 8x - 16 ------- 10 

В результате деления получили неполное частное $Q(x) = x^2 + 7x + 8$ и остаток $R(x) = 10$.

Ответ: неполное частное $x^2 + 7x + 8$, остаток $10$.