Номер 31.4, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

31.4. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4$, $B(x) = x^2 - x + 1$;

2) $A(x) = x^7 - 1$, $B(x) = x^3 + x + 1$;

3) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6$, $B(x) = x - 2$.

Для решения задачи выполним деление многочленов «уголком». Этот процесс аналогичен делению чисел: на каждом шаге мы делим старший член текущего делимого на старший член делителя.

1) $A(x) = x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4$, $B(x) = x^2 - x + 1$

1. $x^5 : x^2 = x^3$. Умножаем $x^3(x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3$. Вычитаем: $(x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4) - (x^5 - x^4 + x^3) = x^4 - 7x^3 + 2x^2 - 4$.
2. $x^4 : x^2 = x^2$. Умножаем $x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2$. Вычитаем: $(x^4 - 7x^3 + 2x^2 - 4) - (x^4 - x^3 + x^2) = -6x^3 + x^2 - 4$.
3. $-6x^3 : x^2 = -6x$. Умножаем $-6x(x^2 - x + 1) = -6x^3 + 6x^2 - 6x$. Вычитаем: $(-6x^3 + x^2 - 4) - (-6x^3 + 6x^2 - 6x) = -5x^2 + 6x - 4$.
4. $-5x^2 : x^2 = -5$. Умножаем $-5(x^2 - x + 1) = -5x^2 + 5x - 5$. Вычитаем: $(-5x^2 + 6x - 4) - (-5x^2 + 5x - 5) = x + 1$.

Ответ: Частное $q(x) = x^3 + x^2 - 6x - 5$, остаток $r(x) = x + 1$.

2) $A(x) = x^7 - 1$, $B(x) = x^3 + x + 1$

1. $x^7 : x^3 = x^4$. Вычитаем $x^4(x^3 + x + 1)$: $(x^7 - 1) - (x^7 + x^5 + x^4) = -x^5 - x^4 - 1$.
2. $-x^5 : x^3 = -x^2$. Вычитаем $-x^2(x^3 + x + 1)$: $(-x^5 - x^4 - 1) - (-x^5 - x^3 - x^2) = -x^4 + x^3 + x^2 - 1$.
3. $-x^4 : x^3 = -x$. Вычитаем $-x(x^3 + x + 1)$: $(-x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (-x^4 - x^2 - x) = x^3 + 2x^2 + x - 1$.
4. $x^3 : x^3 = 1$. Вычитаем $1(x^3 + x + 1)$: $(x^3 + 2x^2 + x - 1) - (x^3 + x + 1) = 2x^2 - 2$.

Ответ: Частное $q(x) = x^4 - x^2 - x + 1$, остаток $r(x) = 2x^2 - 2$.

3) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6$, $B(x) = x - 2$

1. $x^3 : x = x^2$. Вычитаем $x^2(x - 2)$: $(x^3 + 5x^2 - 6x - 6) - (x^3 - 2x^2) = 7x^2 - 6x - 6$.
2. $7x^2 : x = 7x$. Вычитаем $7x(x - 2)$: $(7x^2 - 6x - 6) - (7x^2 - 14x) = 8x - 6$.
3. $8x : x = 8$. Вычитаем $8(x - 2)$: $(8x - 6) - (8x - 16) = 10$.

Ответ: Частное $q(x) = x^2 + 7x + 8$, остаток $r(x) = 10$.