Номер 31.10, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.10, страница 258.

Условие.

31.10. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение $(a-1)\sqrt{x-3}=0$.

Решение.

Данное уравнение имеет вид $(a - 1)\sqrt{x - 3} = 0$.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, имеем:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.
Следовательно, уравнение равносильно совокупности:
$a - 1 = 0$ или $\sqrt{x - 3} = 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Пусть $a = 1$.
Тогда множитель $(a - 1)$ равен $1 - 1 = 0$. Исходное уравнение принимает вид:
$0 \cdot \sqrt{x - 3} = 0$
$0 = 0$
Это равенство является верным для всех значений $x$, принадлежащих области допустимых значений. Таким образом, при $a = 1$ решением уравнения является любое число $x$ из промежутка $[3; +\infty)$.

2. Пусть $a \ne 1$.
В этом случае множитель $(a - 1)$ отличен от нуля. Чтобы произведение равнялось нулю, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:
$\sqrt{x - 3} = 0$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x - 3 = 0$
$x = 3$
Полученное значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$). Следовательно, при любом $a \ne 1$ уравнение имеет единственный корень $x = 3$.

Ответ: если $a = 1$, то $x \in [3; +\infty)$; если $a \ne 1$, то $x = 3$.