Номер 32.5, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.5, страница 262.

Условие.

32.5. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 - x$.

Решение.

Обозначим данный многочлен как $P(x) = (x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$, а делитель — как $Q(x) = x^2 - x$.

Согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x)$ нацело тогда и только тогда, когда все корни многочлена $Q(x)$ являются также и корнями многочлена $P(x)$.

Найдем корни делителя $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - x = 0$:
$x(x - 1) = 0$
Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Теперь необходимо проверить, обращается ли многочлен $P(x)$ в ноль при этих значениях $x$.

1. Подставим $x = 0$ в выражение для $P(x)$:
$P(0) = (0^2 + 0 - 1)^{2n} + (0^2 - 0 + 1)^{2n} - 2 = (-1)^{2n} + 1^{2n} - 2$.
Так как $n \in \mathbb{N}$, показатель $2n$ является четным числом, поэтому $(-1)^{2n} = 1$.
Следовательно, $P(0) = 1 + 1 - 2 = 0$.

2. Подставим $x = 1$ в выражение для $P(x)$:
$P(1) = (1^2 + 1 - 1)^{2n} + (1^2 - 1 + 1)^{2n} - 2 = 1^{2n} + 1^{2n} - 2$.
Следовательно, $P(1) = 1 + 1 - 2 = 0$.

Поскольку оба корня многочлена $Q(x)$ (числа 0 и 1) являются корнями многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x)$ без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.