Вопросы?, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - страница 262.

Условие.

1. Что называют корнем многочлена?

2. Сформулируйте теорему Безу.

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число $a$ является корнем многочлена $A(x)$.

4. Какое наибольшее количество элементов может содержать множество корней многочлена $n$-й степени?

Решение.

1. Что называют корнем многочлена?

Корнем многочлена $A(x)$ называется такое число $a$, при подстановке которого в многочлен вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в нуль.
Иначе говоря, число $a$ является корнем многочлена $A(x)$, если выполняется равенство $A(a) = 0$.
Ответ: Корнем многочлена $A(x)$ называют число $a$, для которого выполняется равенство $A(a) = 0$.

2. Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу (или теорема об остатке) утверждает, что остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$.
Доказательство: При делении многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - a)$ мы получаем в частном некоторый многочлен $Q(x)$ и остаток $R$. Степень остатка должна быть меньше степени делителя, то есть меньше 1, следовательно, остаток $R$ является числом (константой). Это можно записать в виде тождества:
$A(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R$
Поскольку это тождество верно для любого значения $x$, подставим в него $x = a$:
$A(a) = (a - a) \cdot Q(a) + R$
$A(a) = 0 \cdot Q(a) + R$
$A(a) = R$
Таким образом, остаток $R$ равен значению многочлена при $x=a$, что и требовалось доказать.
Ответ: Остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен $A(a)$.

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число a является корнем многочлена A(x).

Данное условие является прямым следствием из теоремы Безу и также известно как теорема о корне.
Условие: Число $a$ является корнем многочлена $A(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $A(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.
Доказательство:
Необходимость: Пусть число $a$ является корнем многочлена $A(x)$. По определению корня, это означает, что $A(a) = 0$. Согласно теореме Безу, остаток от деления $A(x)$ на $(x - a)$ равен $A(a)$. Следовательно, остаток равен нулю, а это и означает, что $A(x)$ делится на $(x - a)$ без остатка (нацело).
Достаточность: Пусть многочлен $A(x)$ делится на $(x - a)$ без остатка. Это означает, что остаток от деления равен нулю. По теореме Безу, остаток равен $A(a)$, следовательно, $A(a) = 0$. По определению корня, это означает, что число $a$ является корнем многочлена $A(x)$.
Ответ: Число $a$ является корнем многочлена $A(x)$ тогда и только тогда, когда $A(x)$ делится на $(x - a)$ нацело.

4. Какое наибольшее количество элементов может содержать множество корней многочлена n-й степени?

Наибольшее количество элементов, которое может содержать множество корней многочлена $n$-й степени (при $n \ge 1$), равно $n$. Иными словами, многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней.
Объяснение:
Это утверждение доказывается на основе теоремы о корне (см. пункт 3). Пусть $A(x)$ — многочлен степени $n$.
Если у многочлена есть корень $a_1$, то $A(x)$ можно представить в виде $A(x) = (x - a_1) \cdot Q_1(x)$, где $Q_1(x)$ — многочлен степени $n-1$.
Если у $A(x)$ есть второй, отличный от $a_1$, корень $a_2$, то $A(a_2)=0$. Подставив это в разложение, получим $(a_2 - a_1) \cdot Q_1(a_2) = 0$. Так как $a_2 \ne a_1$, то $a_2 - a_1 \ne 0$, а значит $Q_1(a_2) = 0$. Следовательно, $a_2$ является корнем многочлена $Q_1(x)$.
Тогда $Q_1(x)$ можно разложить на множители: $Q_1(x) = (x - a_2) \cdot Q_2(x)$, где $Q_2(x)$ — многочлен степени $n-2$.
Продолжая эту процедуру, на каждом шаге мы находим новый корень и понижаем степень многочлена-сомножителя на единицу. Этот процесс можно повторить не более $n$ раз, так как исходная степень многочлена равна $n$. После выделения $k$ различных корней $a_1, a_2, \ldots, a_k$ мы получим:
$A(x) = (x - a_1)(x - a_2)\ldots(x - a_k) \cdot Q_k(x)$, где степень $Q_k(x)$ равна $n-k$.
Максимальное возможное число таких шагов — $n$, после чего $Q_n(x)$ станет многочленом нулевой степени (ненулевой константой), который корней не имеет. Таким образом, число различных корней не может превышать $n$.
Ответ: $n$.