Номер 32.7, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.7, страница 262.

Условие.

32.7. При каком значении параметра $a$ остаток от деления многочлена:

1) $x^4 + ax^3 - 2x^2 + x - 1$ на двучлен $x - 1$ равен 5;

2) $2x^4 - 3x^3 - ax^2 - x - 2$ на двучлен $x + 1$ равен 3?

Решение.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы Безу, которое гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $x = c$, то есть $R = P(c)$.

1)

Нам дан многочлен $P(x) = x^4 + ax^3 - 2x^2 + x - 1$. Его нужно разделить на двучлен $x - 1$. По условию, остаток от деления равен 5.

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - 1)$ равен значению этого многочлена при $x = 1$. То есть, $R = P(1)$.

По условию $R=5$, значит, мы можем составить уравнение: $P(1) = 5$.

Найдем значение многочлена при $x = 1$: $P(1) = (1)^4 + a \cdot (1)^3 - 2 \cdot (1)^2 + 1 - 1 = 1 + a - 2 + 1 - 1 = a - 1$.

Теперь решим уравнение: $a - 1 = 5$ $a = 5 + 1$ $a = 6$.

Ответ: $a = 6$.

2)

Нам дан многочлен $P(x) = 2x^4 - 3x^3 - ax^2 - x - 2$. Его нужно разделить на двучлен $x + 1$. По условию, остаток от деления равен 3.

Двучлен $(x + 1)$ можно представить в виде $(x - (-1))$, следовательно, $c = -1$. Согласно теореме Безу, остаток от деления равен значению многочлена при $x = -1$. То есть, $R = P(-1)$.

По условию $R=3$, значит, мы можем составить уравнение: $P(-1) = 3$.

Найдем значение многочлена при $x = -1$: $P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 - a(-1)^2 - (-1) - 2 = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) - a \cdot 1 + 1 - 2 = 2 + 3 - a + 1 - 2 = 4 - a$.

Теперь решим уравнение: $4 - a = 3$ $a = 4 - 3$ $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.