Номер 32.14, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.14, страница 263.

Условие.

32.14. Докажите, что выражение $a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$ делится нацело на выражение $(a - b)(b - c)(c - a)$.

Решение.

Для доказательства того, что выражение $A = a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$ делится нацело на выражение $B = (a - b)(b - c)(c - a)$, достаточно показать, что $A$ делится на каждый из сомножителей $B$: $(a-b)$, $(b-c)$ и $(c-a)$. Мы воспользуемся для этого теоремой Безу (или следствием из нее), которая гласит, что многочлен $P(x)$ делится на $(x-k)$ тогда и только тогда, когда $P(k) = 0$.

1. Проверка делимости на $(a - b)$

Рассмотрим данное выражение $A$ как многочлен от переменной $a$. Подставим в него $a = b$:

$b^3(b - c) + b^3(c - b) + c^3(b - b) = b^3(b - c) - b^3(b - c) + c^3 \cdot 0 = 0$.

Поскольку при $a=b$ выражение обращается в ноль, оно делится нацело на $(a - b)$.

2. Проверка делимости на $(b - c)$

Рассмотрим данное выражение $A$ как многочлен от переменной $b$. Подставим в него $b = c$:

$a^3(c - c) + c^3(c - a) + c^3(a - c) = a^3 \cdot 0 + c^3(c - a) - c^3(c - a) = 0$.

Поскольку при $b=c$ выражение обращается в ноль, оно делится нацело на $(b - c)$.

3. Проверка делимости на $(c - a)$

Рассмотрим данное выражение $A$ как многочлен от переменной $c$. Подставим в него $c = a$:

$a^3(b - a) + b^3(a - a) + a^3(a - b) = a^3(b - a) + b^3 \cdot 0 - a^3(b - a) = 0$.

Поскольку при $c=a$ выражение обращается в ноль, оно делится нацело на $(c - a)$.

Так как выражение $A$ делится на каждый из множителей $(a - b)$, $(b - c)$ и $(c - a)$, и эти множители являются взаимно простыми многочленами (при условии, что $a, b, c$ различны), то оно делится и на их произведение $(a - b)(b - c)(c - a)$. Если же какие-либо из переменных совпадают (например, $a=b$), то и делимое $A$, и делитель $B$ равны нулю, и утверждение о делимости также выполняется.

Таким образом, утверждение доказано. Для полноты решения можно также найти частное от деления. Путем разложения на множители можно показать, что:$a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$. Следовательно, частное равно $-(a+b+c)$.

Ответ: Утверждение доказано. Было показано с помощью теоремы Безу, что исходное выражение обращается в ноль при $a=b$, $b=c$ и $c=a$, а следовательно, оно делится на $(a-b)$, $(b-c)$ и $(c-a)$ и на их произведение.