Номер 32.18, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.18, страница 263.

Условие.

32.18. Решите уравнение $(x^2 + 3x - 4)(\sqrt{x} - 2) = 0.$

Решение.

Данное уравнение $(x^2 + 3x - 4)(\sqrt{x} - 2) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. В уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, которое определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, ОДЗ определяется неравенством:

$x \ge 0$.

Все корни уравнения должны принадлежать этой области.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 + 3x - 4 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = -4$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, это один из корней исходного уравнения.

2) $\sqrt{x} - 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{x} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = 2^2$

$x = 4$.

Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, это также корень исходного уравнения.

Объединяя все найденные корни, удовлетворяющие ОДЗ, получаем окончательное решение.

Ответ: 1; 4.