Номер 33.4, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.4, страница 267.

Условие.

33.4. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$

имеет рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q}$, где $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то $p$ — делитель свободного члена $a_0$, $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.

Решение.

Пусть дано целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где все $a_i \in \mathbb{Z}$ и $a_n \neq 0, a_0 \neq 0$.

Пусть $x_0 = \frac{p}{q}$ — рациональный корень этого уравнения, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, и дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой. Это означает, что числа $p$ и $q$ взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(p, q) = 1$).

Наша задача — доказать, что $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Поскольку $x_0 = \frac{p}{q}$ является корнем уравнения, при подстановке его в уравнение мы получим верное равенство:

$a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_1 \left(\frac{p}{q}\right) + a_0 = 0$

Умножим обе части этого равенства на $q^n$ (это возможно, так как $q \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + a_{n-2} p^{n-2}q^2 + \dots + a_1 pq^{n-1} + a_0 q^n = 0$

Теперь докажем каждое утверждение по отдельности.

1. Докажем, что $p$ — делитель $a_0$.

Перенесем член $a_0 q^n$ в правую часть уравнения:

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \dots + a_1 pq^{n-1} = -a_0 q^n$

В левой части уравнения каждый член содержит множитель $p$. Вынесем его за скобки:

$p(a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2}q + \dots + a_1 q^{n-1}) = -a_0 q^n$

Так как все коэффициенты $a_i$, а также $p$ и $q$ являются целыми числами, то выражение в скобках также является целым числом. Обозначим его как $K_1$. Тогда равенство примет вид $p \cdot K_1 = -a_0 q^n$. Это означает, что левая часть уравнения делится нацело на $p$. Следовательно, и правая часть, $-a_0 q^n$, также должна делиться на $p$.

По условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократима, значит, числа $p$ и $q$ взаимно просты (НОД$(p, q) = 1$). Из этого следует, что числа $p$ и $q^n$ также взаимно просты. Согласно лемме Евклида, если произведение двух целых чисел ($a_0$ и $q^n$) делится на целое число ($p$), и одно из этих чисел ($q^n$) взаимно просто с делителем ($p$), то второе число ($a_0$) должно делиться на этот делитель ($p$).

Таким образом, $a_0$ делится на $p$, что и требовалось доказать.

2. Докажем, что $q$ — делитель $a_n$.

Вернемся к преобразованному уравнению $a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \dots + a_1 pq^{n-1} + a_0 q^n = 0$ и перенесем член $a_n p^n$ в правую часть:

$a_{n-1} p^{n-1}q + \dots + a_1 pq^{n-1} + a_0 q^n = -a_n p^n$

В левой части каждый член, кроме первого, содержит множитель $q$. Вынесем его за скобки:

$q(a_{n-1} p^{n-1} + a_{n-2} p^{n-2}q + \dots + a_0 q^{n-1}) = -a_n p^n$

Аналогично первому случаю, выражение в скобках является целым числом. Обозначим его $K_2$. Равенство примет вид $q \cdot K_2 = -a_n p^n$. Это означает, что левая часть уравнения делится нацело на $q$. Следовательно, и правая часть, $-a_n p^n$, также должна делиться на $q$.

Так как числа $p$ и $q$ взаимно просты, то числа $p^n$ и $q$ также взаимно просты. Снова применяя лемму Евклида, из того, что произведение $a_n p^n$ делится на $q$ и $p^n$ взаимно просто с $q$, следует, что $a_n$ должно делиться на $q$.

Таким образом, $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$, что и требовалось доказать.

Оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.