Номер 33.7, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.7, страница 267.

Условие.

33.7. Постройте график функции $y = \frac{x-1}{|x-1|+1-x}$.

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{x - 1}{|x - 1| + 1 - x}$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем $x-1$. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, это $x=1$.

1. Рассмотрим случай, когда $x > 1$.

При $x > 1$ выражение $x-1$ положительно, следовательно, $|x-1| = x-1$.

Подставим это в формулу функции:

$y = \frac{x - 1}{(x - 1) + 1 - x} = \frac{x - 1}{x - 1 + 1 - x} = \frac{x - 1}{0}$

На ноль делить нельзя, следовательно, при $x > 1$ функция не определена.

2. Рассмотрим случай, когда $x < 1$.

При $x < 1$ выражение $x-1$ отрицательно, следовательно, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

Подставим это в формулу функции:

$y = \frac{x - 1}{(1 - x) + (1 - x)} = \frac{x - 1}{2(1 - x)}$

Вынесем в числителе знак минус за скобки: $x-1 = -(1-x)$.

$y = \frac{-(1 - x)}{2(1 - x)}$

Поскольку $x < 1$, то $1-x \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $(1-x)$:

$y = -\frac{1}{2}$

Таким образом, для всех $x < 1$ функция принимает постоянное значение $y = -0.5$.

3. Рассмотрим точку $x=1$.

При подстановке $x=1$ в исходное выражение, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$y = \frac{1 - 1}{|1 - 1| + 1 - 1} = \frac{0}{0 + 0} = \frac{0}{0}$

Это означает, что функция в точке $x=1$ не определена.

Построение графика.

Итак, область определения функции — это все значения $x < 1$. На всей этой области $y = -1/2$.

Графиком функции является горизонтальный луч, выходящий из точки $(1; -1/2)$ и идущий влево параллельно оси Ox. Точка $(1; -1/2)$ не принадлежит графику, поэтому её следует отметить на графике как "выколотую" (пустой кружок).

Ответ: Графиком функции является луч $y = -1/2$ для всех $x \in (-\infty; 1)$. Точка с координатами $(1; -1/2)$ на графике выколота.