Номер 33.8, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.8, страница 267.

Условие.

33.8. Для каждого значения параметра a решите неравенство

$ax + a^2 \ge 2x + 4$

Решение.

Преобразуем данное неравенство, перенеся члены с переменной $x$ в левую часть, а остальные члены в правую:

$ax + a^2 \ge 2x + 4$
$ax - 2x \ge 4 - a^2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части и разложим правую часть по формуле разности квадратов $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:

$x(a - 2) \ge (2 - a)(2 + a)$

Чтобы упростить выражение, заметим, что $(2 - a) = -(a - 2)$. Тогда неравенство примет вид:

$x(a - 2) \ge -(a - 2)(a + 2)$

Для нахождения $x$ необходимо разделить обе части неравенства на $(a - 2)$. Результат зависит от знака этого выражения. Рассмотрим три случая.

Если $a > 2$

В этом случае выражение $(a - 2)$ положительно. При делении на положительное число знак неравенства сохраняется:

$x \ge \frac{-(a - 2)(a + 2)}{a - 2}$

$x \ge -(a + 2)$

$x \ge -a - 2$

Ответ: при $a > 2$, $x \in [-a - 2; +\infty)$.

Если $a < 2$

В этом случае выражение $(a - 2)$ отрицательно. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-(a - 2)(a + 2)}{a - 2}$

$x \le -(a + 2)$

$x \le -a - 2$

Ответ: при $a < 2$, $x \in (-\infty; -a - 2]$.

Если $a = 2$

В этом случае выражение $(a - 2)$ равно нулю, и делить на него нельзя. Подставим $a = 2$ в неравенство $x(a - 2) \ge -(a - 2)(a + 2)$:

$x(2 - 2) \ge -(2 - 2)(2 + 2)$

$x \cdot 0 \ge -0 \cdot 4$

$0 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: при $a = 2$, $x \in (-\infty; +\infty)$.