Номер 34.4, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.4, страница 279.

Условие.

34.4. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3};$

2) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1);$

3) $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n - 3)(4n + 1)} = \frac{n}{4n + 1}.$

Решение.

1)

Докажем равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ методом математической индукции.

База индукции: Проверим равенство для $n=1$.

Левая часть: $1 \cdot (1+1) = 2$.

Правая часть: $\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.

Так как $2=2$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.

Докажем, что оно верно и для $n=k+1$, то есть:

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$. Используя предположение индукции, заменим сумму первых $k$ слагаемых:

$\underbrace{(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1))}_{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}} + (k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:

$(k+1)(k+2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2) \left(\frac{k+3}{3}\right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2)

Докажем равенство $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$ методом математической индукции.

База индукции: Проверим равенство для $n=1$.

Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.

Правая часть: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2-1) = 1$.

Так как $1=1$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:

$1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2-1)$.

Докажем, что оно верно и для $n=k+1$, то есть:

$1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2-1)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$ и используем предположение индукции:

$\underbrace{(1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3)}_{k^2(2k^2-1)} + (2k+1)^3 = k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства для $n=k+1$:

$(k+1)^2(2(k+1)^2-1) = (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1)-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)$.

Перемножим многочлены:

$(k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1)$
$= (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1)$
$= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Левая и правая части совпали. Значит, шаг индукции доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

3)

Докажем равенство $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}$ методом математической индукции.

База индукции: Проверим равенство для $n=1$.

Левая часть: $\frac{1}{(4 \cdot 1 - 3)(4 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5}$.

Правая часть: $\frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{5}$.

Так как $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{k}{4k+1}$.

Докажем, что оно верно и для $n=k+1$, то есть:

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} + \frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)} = \frac{k+1}{4(k+1)+1}$.

Рассмотрим левую часть. Используя предположение индукции, получим:

$\underbrace{\left(\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}\right)}_{\frac{k}{4k+1}} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k}{4k+1} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{k(4k+5)}{(4k+1)(4k+5)} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{4k^2+5k+1}{(4k+1)(4k+5)}$.

Разложим числитель $4k^2+5k+1$ на множители. Корни уравнения $4k^2+5k+1=0$ равны $k_1=-1$ и $k_2=-1/4$. Тогда $4k^2+5k+1 = 4(k+1)(k+1/4) = (k+1)(4k+1)$.

Подставим разложение обратно в дробь:

$\frac{(k+1)(4k+1)}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5}$.

Правая часть для $n=k+1$ равна $\frac{k+1}{4(k+1)+1} = \frac{k+1}{4k+5}$.

Левая и правая части совпали. Шаг индукции доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.