Номер 34.8, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.8, страница 279.

Условие.

34.8. Докажите, что при $n \in \mathbb{N}$ и $n \ge 3$ выполняется неравенство $2^n > 2n + 1$.

Решение.

Доказательство проведем методом математической индукции.

1. База индукции
Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа $n=3$, удовлетворяющего условию.
Подставляем $n=3$ в неравенство $2^n > 2n + 1$:
$2^3 > 2 \cdot 3 + 1$
$8 > 6 + 1$
$8 > 7$
Неравенство верно. База индукции выполнена.

2. Индукционное предположение
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k$, где $k \ge 3$. То есть, пусть верно:
$2^k > 2k + 1$

3. Индукционный шаг
Докажем, что из выполнения неравенства для $n=k$ следует его выполнение для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $2^{k+1} > 2(k+1) + 1$.
Рассмотрим левую часть этого неравенства:
$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$
Используя индукционное предположение ($2^k > 2k + 1$), получаем:
$2 \cdot 2^k > 2 \cdot (2k + 1)$
$2^{k+1} > 4k + 2$
Теперь нам нужно доказать, что полученное выражение $4k + 2$ больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть $2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3$.
Проверим неравенство $4k + 2 > 2k + 3$:
$4k - 2k > 3 - 2$
$2k > 1$
Поскольку по условию $k \ge 3$, это неравенство очевидно верно (например, при $k=3$ получаем $6 > 1$).
Таким образом, мы установили следующую цепочку неравенств:
$2^{k+1} > 4k + 2 > 2k + 3$
Отсюда следует, что $2^{k+1} > 2(k+1) + 1$.
Индукционный шаг доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции неравенство $2^n > 2n + 1$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$.
Ответ: Неравенство доказано.