Номер 34.12, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.12, страница 280.

Условие.

34.12. Докажите, что для любого натурального $n$:

1) $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ : 19;

2) $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1})$ : 11;

3) $(3^{2n+2} - 8n - 9)$ : 64.

Решение.

1) Докажем, что выражение $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ делится на 19 для любого натурального $n$.

Воспользуемся методом математической индукции.

Пусть $A(n) = 7^{n+1} + 8^{2n-1}$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 7^{1+1} + 8^{2 \cdot 1 - 1} = 7^2 + 8^1 = 49 + 8 = 57$.

Так как $57 = 19 \cdot 3$, выражение $A(1)$ делится на 19. База индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k \ge 1$ утверждение верно, то есть $A(k) = 7^{k+1} + 8^{2k-1}$ делится на 19.

Это означает, что существует целое число $m$ такое, что $7^{k+1} + 8^{2k-1} = 19m$. Отсюда выразим $7^{k+1} = 19m - 8^{2k-1}$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что $A(k+1) = 7^{(k+1)+1} + 8^{2(k+1)-1}$ делится на 19.

$A(k+1) = 7^{k+2} + 8^{2k+1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 8^2 \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 64 \cdot 8^{2k-1}$.

Подставим выражение для $7^{k+1}$ из предположения индукции:

$A(k+1) = 7 \cdot (19m - 8^{2k-1}) + 64 \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 19m - 7 \cdot 8^{2k-1} + 64 \cdot 8^{2k-1}$

$A(k+1) = 7 \cdot 19m + (64 - 7) \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 19m + 57 \cdot 8^{2k-1}$

$A(k+1) = 7 \cdot 19m + 3 \cdot 19 \cdot 8^{2k-1} = 19 \cdot (7m + 3 \cdot 8^{2k-1})$.

Поскольку $m$ - целое число и $k$ - натуральное, выражение в скобках является целым числом. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 19.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Доказано, что $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ делится на 19 для любого натурального $n$.

2) Докажем, что выражение $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1})$ делится на 11 для любого натурального $n$.

Воспользуемся методом математической индукции.

Пусть $B(n) = 7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1}$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$B(1) = 7 \cdot 24^1 - 5 \cdot 13^1 - 2^{1+1} = 7 \cdot 24 - 5 \cdot 13 - 4 = 168 - 65 - 4 = 99$.

Так как $99 = 11 \cdot 9$, выражение $B(1)$ делится на 11. База индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k \ge 1$ утверждение верно, то есть $B(k) = 7 \cdot 24^k - 5 \cdot 13^k - 2^{k+1}$ делится на 11.

Это означает, что существует целое число $m$ такое, что $7 \cdot 24^k - 5 \cdot 13^k - 2^{k+1} = 11m$. Отсюда выразим $7 \cdot 24^k = 11m + 5 \cdot 13^k + 2^{k+1}$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что $B(k+1) = 7 \cdot 24^{k+1} - 5 \cdot 13^{k+1} - 2^{(k+1)+1}$ делится на 11.

$B(k+1) = 7 \cdot 24 \cdot 24^k - 5 \cdot 13 \cdot 13^k - 2 \cdot 2^{k+1} = 24 \cdot (7 \cdot 24^k) - 65 \cdot 13^k - 2 \cdot 2^{k+1}$.

Подставим выражение для $7 \cdot 24^k$ из предположения индукции:

$B(k+1) = 24 \cdot (11m + 5 \cdot 13^k + 2^{k+1}) - 65 \cdot 13^k - 2 \cdot 2^{k+1}$

$B(k+1) = 24 \cdot 11m + 120 \cdot 13^k + 24 \cdot 2^{k+1} - 65 \cdot 13^k - 2 \cdot 2^{k+1}$

$B(k+1) = 24 \cdot 11m + (120 - 65) \cdot 13^k + (24 - 2) \cdot 2^{k+1}$

$B(k+1) = 24 \cdot 11m + 55 \cdot 13^k + 22 \cdot 2^{k+1} = 11 \cdot (24m + 5 \cdot 13^k + 2 \cdot 2^{k+1})$.

Поскольку $m$ - целое число и $k$ - натуральное, выражение в скобках является целым числом. Следовательно, $B(k+1)$ делится на 11.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Доказано, что $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1})$ делится на 11 для любого натурального $n$.

3) Докажем, что выражение $(3^{2n+2} - 8n - 9)$ делится на 64 для любого натурального $n$.

Воспользуемся методом математической индукции.

Пусть $C(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$C(1) = 3^{2 \cdot 1 + 2} - 8 \cdot 1 - 9 = 3^4 - 8 - 9 = 81 - 17 = 64$.

Так как $64$ делится на 64, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k \ge 1$ утверждение верно, то есть $C(k) = 3^{2k+2} - 8k - 9$ делится на 64.

Это означает, что существует целое число $m$ такое, что $3^{2k+2} - 8k - 9 = 64m$. Отсюда выразим $3^{2k+2} = 64m + 8k + 9$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что $C(k+1) = 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$ делится на 64.

$C(k+1) = 3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17 = 9 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$.

Подставим выражение для $3^{2k+2}$ из предположения индукции:

$C(k+1) = 9 \cdot (64m + 8k + 9) - 8k - 17$

$C(k+1) = 9 \cdot 64m + 72k + 81 - 8k - 17$

$C(k+1) = 9 \cdot 64m + (72k - 8k) + (81 - 17)$

$C(k+1) = 9 \cdot 64m + 64k + 64 = 64 \cdot (9m + k + 1)$.

Поскольку $m$ - целое число и $k$ - натуральное, выражение в скобках является целым числом. Следовательно, $C(k+1)$ делится на 64.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Доказано, что $(3^{2n+2} - 8n - 9)$ делится на 64 для любого натурального $n$.