Номер 34.18, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.18, страница 280.

Условие.

34.18. Докажите, что для любого натурального $n$, $n \geq 4$, существует выпуклый $n$-угольник, имеющий ровно три острых угла.

Решение.

Для решения задачи сначала покажем, что в выпуклом многоугольнике не может быть больше трех острых углов, а затем построим пример такого многоугольника для любого $n \ge 4$.

1. Оценка максимального числа острых углов.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $S = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Предположим, что в выпуклом $n$-угольнике есть $k$ острых углов. Сумма этих $k$ углов будет строго меньше, чем $k \cdot 90^\circ$.

Остальные $n-k$ углов не являются острыми, то есть их величина не меньше $90^\circ$. Поскольку многоугольник выпуклый, каждый из его углов меньше $180^\circ$. Таким образом, сумма остальных $n-k$ углов строго меньше $(n-k) \cdot 180^\circ$.

Сложив эти две суммы, получим оценку для суммы всех углов многоугольника:

$S < k \cdot 90^\circ + (n-k) \cdot 180^\circ$

Подставим формулу для суммы углов:

$(n-2) \cdot 180^\circ < k \cdot 90^\circ + (n-k) \cdot 180^\circ$

$180n - 360 < 90k + 180n - 180k$

$180n - 360 < 180n - 90k$

$-360 < -90k$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$360 > 90k$

$k < 4$

Поскольку $k$ — целое число, $k \le 3$. Это означает, что в любом выпуклом многоугольнике не может быть более трех острых углов.

2. Построение примера.

Теперь докажем существование такого многоугольника для любого $n \ge 4$, приведя конструктивный пример.

Зададим три острых угла. Для определенности, пусть каждый из них равен $89^\circ$. Их сумма составляет $3 \cdot 89^\circ = 267^\circ$.

Сумма всех $n$ углов многоугольника должна быть равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Тогда на остальные $n-3$ углов приходится сумма:

$S_{n-3} = (n-2) \cdot 180^\circ - 267^\circ = 180n - 360 - 267 = 180n - 627^\circ$.

Чтобы построить пример, предположим, что все оставшиеся $n-3$ углов равны между собой. Обозначим величину каждого из этих углов через $\beta$.

$(n-3)\beta = 180n - 627$

$\beta = \frac{180n - 627}{n-3}$

Теперь необходимо проверить, что полученные углы $\beta$ удовлетворяют двум условиям: они не являются острыми ($\beta \ge 90^\circ$) и они меньше $180^\circ$ (что необходимо для выпуклости многоугольника).

Преобразуем выражение для $\beta$:

$\beta = \frac{180(n-3) + 540 - 627}{n-3} = \frac{180(n-3) - 87}{n-3} = 180 - \frac{87}{n-3}$

Проверим, что $\beta < 180^\circ$. Так как по условию $n \ge 4$, то $n-3 \ge 1$. Это означает, что дробь $\frac{87}{n-3}$ — положительное число. Следовательно, $\beta = 180 - (\text{положительное число}) < 180^\circ$.

Проверим, что $\beta \ge 90^\circ$:

$180 - \frac{87}{n-3} \ge 90$

$90 \ge \frac{87}{n-3}$

Поскольку $n-3 > 0$, можно умножить обе части неравенства на $n-3$:

$90(n-3) \ge 87$

$n-3 \ge \frac{87}{90}$

$n \ge 3 + \frac{87}{90}$

Так как $n$ — натуральное число и $n \ge 4$, это неравенство выполняется.

Таким образом, для любого $n \ge 4$ мы можем задать набор углов: три угла по $89^\circ$ (острые) и $n-3$ углов по $(180 - \frac{87}{n-3})^\circ$ (тупые). Сумма этих углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$, и каждый угол находится в интервале $(0, 180^\circ)$. Согласно теореме из геометрии, для любого такого набора углов существует выпуклый $n$-угольник, имеющий их в качестве внутренних углов.

Следовательно, для любого натурального $n \ge 4$ существует выпуклый $n$-угольник, имеющий ровно три острых угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано построением примера для каждого $n \ge 4$.