Номер 34.21, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.21, страница 280.

Условие.

34.21. Найдите область определения функции $y = \sqrt{20 + x - x^2} + \frac{4}{x - 2}$.

Решение.

Область определения функции (ОДЗ) задается системой неравенств, вытекающих из свойств входящих в нее элементарных функций.

Данная функция $y = \sqrt{20 + x - x^2} + \frac{4}{x-2}$ состоит из двух слагаемых, поэтому ее область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.

1. Для слагаемого $\sqrt{20 + x - x^2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$20 + x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 - x - 20 \le 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -20. Корнями являются числа 5 и -4.

$x_1 = -4$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю между корнями (включая сами корни).

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-4, 5]$.

2. Для слагаемого $\frac{4}{x-2}$ знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений. Мы должны взять все значения $x$ из отрезка $[-4, 5]$ и исключить из него точку $x=2$.

В результате получаем объединение двух интервалов: $[-4, 2) \cup (2, 5]$.

Ответ: $D(y) = [-4, 2) \cup (2, 5]$.