Номер 35.3, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.3, страница 288.

Условие.

35.3. В школе 20 классов и 20 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?

Решение.

35.3. В задаче требуется найти количество способов распределить 20 классных руководителей между 20 классами. Условие подразумевает, что каждому классу назначается один уникальный учитель, и каждый учитель назначается ровно одному классу. Это классическая задача на нахождение числа перестановок.

Рассмотрим процесс распределения по шагам.

Для первого класса можно выбрать любого из 20 учителей. Таким образом, у нас есть 20 вариантов.

После того как учитель назначен первому классу, для второго класса остается 19 учителей. Следовательно, для второго класса есть 19 вариантов выбора.

Для третьего класса остается 18 учителей, то есть 18 вариантов.

Продолжая этот процесс, для последнего, двадцатого класса, останется только один учитель, то есть будет всего 1 вариант.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение называется факториалом числа 20 и обозначается как $20!$. Число всех возможных перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=20$.

Следовательно, искомое количество способов равно $20!$.

Ответ: $20!$