Номер 35.5, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.5, страница 288.

Условие.

35.5. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если эти числа должны начинаться:

1) с цифры 1;

2) с записи «34»?

Решение.

По условию задачи, мы составляем пятизначные числа из пяти различных цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Это означает, что в каждом числе все цифры уникальны и каждая цифра из данного набора используется ровно один раз. Таким образом, речь идет о нахождении числа перестановок с заданными ограничениями.

1) с цифры 1
Если пятизначное число должно начинаться с цифры 1, то первая позиция в числе является фиксированной. Число имеет вид: 1 _ _ _ _.
Остальные четыре позиции необходимо заполнить оставшимися четырьмя цифрами {2, 3, 4, 5}. Поскольку все цифры в числе должны быть различны, нам нужно найти количество способов расположить 4 различных цифры на 4 местах. Это является задачей на нахождение числа перестановок из 4 элементов.
Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В данном случае $n=4$, поэтому количество возможных чисел равно:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24

2) с записи «34»
Если пятизначное число должно начинаться с записи «34», это означает, что первые две позиции в числе фиксированы: первая цифра — 3, вторая — 4. Число имеет вид: 3 4 _ _ _.
Оставшиеся три позиции необходимо заполнить оставшимися тремя цифрами {1, 2, 5}. Нам нужно найти количество способов расположить 3 различные цифры на 3 местах. Это является задачей на нахождение числа перестановок из 3 элементов.
Используя ту же формулу для числа перестановок, при $n=3$ получаем:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6