Номер 35.4, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.4, страница 288.

Условие.

35.4.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, причём так, чтобы в каждом числе все цифры были различными?

Решение.

35.4. Задача заключается в нахождении количества всех возможных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, при условии, что каждая цифра в числе используется только один раз. Это классическая задача на нахождение числа перестановок.

У нас есть 5 различных цифр и 5 позиций в пятизначном числе. Рассуждаем следующим образом:
- На первую позицию (разряд десятков тысяч) мы можем поставить любую из 5 данных цифр. Таким образом, у нас есть 5 вариантов.
- После того как мы выбрали цифру для первой позиции, для второй позиции (разряд тысяч) у нас остаётся 4 неиспользованные цифры. Значит, есть 4 варианта.
- Для третьей позиции (разряд сотен) остаётся 3 неиспользованные цифры, то есть 3 варианта.
- Для четвертой позиции (разряд десятков) остаётся 2 цифры, то есть 2 варианта.
- Наконец, для последней, пятой позиции (разряд единиц) остаётся только 1 цифра, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно комбинаторному правилу произведения:
$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Это произведение является факториалом числа 5 и равно числу перестановок из 5 элементов, которое обозначается как $P_5$.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить 120 пятизначных чисел с различными цифрами.
Ответ: 120