Номер 35.2, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.2, страница 288.

Условие.

35.2. Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, если каждый из них может быть водителем?

Решение.

Данная задача относится к разделу комбинаторики и представляет собой задачу на нахождение числа перестановок. У нас есть 5 человек и 5 мест в автомобиле (одно водительское и четыре пассажирских). Поскольку все люди и все места различны, порядок их расположения важен.

Мы должны найти, сколькими способами можно разместить 5 различных объектов (людей) на 5 различных местах.

Решение можно найти, используя формулу для числа перестановок из $n$ элементов:

$P_n = n!$

где $n$ — количество элементов для перестановки. В нашем случае $n = 5$.

Вычисляем количество способов:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Также можно рассуждать последовательно:

• На место водителя может сесть любой из 5 человек, так что у нас есть 5 вариантов.
• После того как водитель выбран, на первое пассажирское место может сесть любой из оставшихся 4 человек (4 варианта).
• На второе пассажирское место — любой из оставшихся 3 человек (3 варианта).
• На третье пассажирское место — любой из оставшихся 2 человек (2 варианта).
• На последнее место садится последний оставшийся человек (1 вариант).

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Ответ: 120