Номер 34.19, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.19, страница 280.

Условие.

34.19. На плоскости проведено $n$ прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три из которых не проходят через одну точку. На сколько частей разбивают плоскость эти прямые?

Решение.

Пусть $L_n$ — это искомое количество частей, на которые $n$ прямых разбивают плоскость при заданных условиях. Рассмотрим, как изменяется количество частей с добавлением каждой новой прямой, начиная с $n=0$.

При $n=0$ (нет прямых), плоскость едина и не разделена, то есть имеется 1 часть. Таким образом, $L_0 = 1$.

При $n=1$, одна прямая делит плоскость на 2 части. Таким образом, $L_1 = 2$. Заметим, что $L_1 = L_0 + 1$.

При $n=2$, проводим вторую прямую. По условию она не параллельна первой, значит, они пересекаются в одной точке. Эта вторая прямая сама делится точкой пересечения на 2 луча. Каждый из этих лучей делит одну из существующих частей надвое, тем самым добавляя 2 новые части. Количество частей становится $L_2 = L_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

При $n=3$, проводим третью прямую. Она пересекает две предыдущие прямые в двух разных точках (так как никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку). Эти две точки пересечения делят третью прямую на 3 части (два луча и один отрезок). Каждая из этих трёх частей, проходя через существующую область, делит её на две. Таким образом, добавляется 3 новые части. Количество частей становится $L_3 = L_2 + 3 = 4 + 3 = 7$.

Обобщим это наблюдение. Пусть уже проведено $k-1$ прямых, которые делят плоскость на $L_{k-1}$ частей. Проводим $k$-ю прямую. По условию, она не параллельна ни одной из $k-1$ предыдущих прямых, поэтому она пересечет их все. Также по условию, никакие три прямые не пересекаются в одной точке, поэтому $k$-я прямая пересечет $k-1$ прямых в $k-1$ различных точках.

Эти $k-1$ точек делят $k$-ю прямую на $k$ сегментов (два луча и $k-2$ отрезка). Каждый из этих $k$ сегментов проходит через одну из ранее существовавших частей и делит ее на две. Следовательно, добавление $k$-й прямой увеличивает общее количество частей на $k$.

Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение: $L_k = L_{k-1} + k$ для $k \ge 1$.

Теперь найдем явную формулу для $L_n$. Развернем рекуррентное соотношение:$L_n = L_{n-1} + n = (L_{n-2} + n-1) + n = \dots = L_0 + 1 + 2 + \dots + n$.

Мы знаем, что $L_0 = 1$. Сумма первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии: $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$.

Подставляя известные значения, получаем искомое количество частей:$L_n = 1 + \sum_{i=1}^{n} i = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$.

Эту формулу можно также представить в виде $L_n = \frac{2 + n^2 + n}{2} = \frac{n^2+n+2}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{n(n+1)}{2}$.