Номер 34.13, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.13, страница 280.

Условие.

34.13. Докажите, что если $a \ge 0$, $b \ge 0$, $n \in \mathbb{N}$, то $\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2}$.

Решение.

Данное неравенство можно доказать несколькими способами. Приведем два из них.

Способ 1: Метод математической индукции

Докажем неравенство $\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2}$ для любых $a \ge 0, b \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ методом математической индукции по $n$.

1. База индукции

Проверим утверждение для $n=1$.

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^1 \le \frac{a^1+b^1}{2}$

$\frac{a+b}{2} \le \frac{a+b}{2}$

Неравенство выполняется (как равенство). База индукции верна.

2. Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$:

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^k \le \frac{a^k+b^k}{2}$

3. Индукционный шаг

Докажем, что неравенство верно и для $n = k+1$. То есть, докажем, что:

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1} \le \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$

Начнем с левой части и воспользуемся индукционным предположением. Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\frac{a+b}{2} \ge 0$.

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1} = \left(\frac{a+b}{2}\right)^k \cdot \frac{a+b}{2} \le \frac{a^k+b^k}{2} \cdot \frac{a+b}{2}$

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1} \le \frac{(a^k+b^k)(a+b)}{4} = \frac{a^{k+1}+a^k b+ab^k+b^{k+1}}{4}$

Теперь докажем, что полученное выражение не превосходит $\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$:

$\frac{a^{k+1}+a^k b+ab^k+b^{k+1}}{4} \le \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$

Умножим обе части на 4:

$a^{k+1}+a^k b+ab^k+b^{k+1} \le 2(a^{k+1}+b^{k+1})$

$a^{k+1}+a^k b+ab^k+b^{k+1} \le 2a^{k+1}+2b^{k+1}$

$0 \le a^{k+1} - a^k b - ab^k + b^{k+1}$

Сгруппируем слагаемые:

$0 \le a^k(a-b) - b^k(a-b)$

$0 \le (a^k-b^k)(a-b)$

Это неравенство всегда верно для любых $a \ge 0, b \ge 0$ и $k \in \mathbb{N}$:

• Если $a \ge b$, то $a-b \ge 0$ и $a^k \ge b^k$, следовательно $a^k-b^k \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно.
• Если $a < b$, то $a-b < 0$ и $a^k < b^k$, следовательно $a^k-b^k < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Таким образом, индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.

Ответ: Неравенство $\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2}$ доказано.

---

Способ 2: Использование свойств выпуклых функций

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$ для $x \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$.

Найдем ее вторую производную:

$f'(x) = nx^{n-1}$

$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$

По условию $n \in \mathbb{N}$.

• При $n=1$ имеем $f''(x) = 0$.
• При $n \ge 2$ и $x \ge 0$ имеем $n(n-1) \ge 0$ и $x^{n-2} \ge 0$, следовательно $f''(x) \ge 0$.

Поскольку вторая производная неотрицательна, функция $f(x)=x^n$ является выпуклой на промежутке $[0, \infty)$.

Для любой выпуклой функции $f$ справедливо неравенство Йенсена. В частном случае для двух точек $a$ и $b$ оно имеет вид:

$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{f(a)+f(b)}{2}$

Применив это неравенство к нашей выпуклой функции $f(x) = x^n$, получаем исходное неравенство:

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2}$ доказано.