Номер 34.9, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.9, страница 279.

Условие.

34.9. Докажите, что при $n \in \mathbb{N}$ и $n \ge 3$ выполняется неравенство $3^n > 4n + 1$.

Решение.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что $3^n > 4n + 1$.

База индукции

Проверим истинность утверждения $P(n)$ для наименьшего значения $n=3$.

При $n=3$ неравенство принимает вид:

$3^3 > 4 \cdot 3 + 1$

$27 > 12 + 1$

$27 > 13$

Данное неравенство является верным. Таким образом, база индукции установлена.

Шаг индукции

Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 3$. То есть, предположим, что выполняется неравенство:

$3^k > 4k + 1$

Это наше индукционное предположение.

Теперь докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность утверждения $P(k+1)$, то есть, что $3^{k+1} > 4(k+1) + 1$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$:

$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$

Используя индукционное предположение $3^k > 4k + 1$, мы можем записать:

$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k > 3(4k + 1)$

$3^{k+1} > 12k + 3$

Правая часть неравенства, которое нам нужно доказать, равна $4(k+1) + 1 = 4k + 4 + 1 = 4k + 5$.

Сравним полученное нами выражение $12k+3$ с выражением $4k+5$. Нам нужно показать, что $12k + 3 > 4k + 5$ при $k \ge 3$.

$12k - 4k > 5 - 3$

$8k > 2$

$k > \frac{2}{8}$

$k > \frac{1}{4}$

Поскольку по условию $k \ge 3$, то неравенство $k > \frac{1}{4}$ очевидно выполняется. Следовательно, $12k + 3 > 4k + 5$.

Таким образом, мы можем составить цепочку неравенств:

$3^{k+1} > 12k + 3 > 4k + 5 = 4(k+1) + 1$

Отсюда следует, что $3^{k+1} > 4(k+1) + 1$.

Шаг индукции доказан.

Заключение

Поскольку база индукции верна и шаг индукции доказан, то, согласно принципу математической индукции, неравенство $3^n > 4n + 1$ выполняется для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство доказано.