Номер 34.15, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.15, страница 280.

Условие.

34.15. Докажите неравенство $\underbrace{\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots + \sqrt{6}}}}}_{n \text{ радикалов}} < 3$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом математической индукции.

Обозначим выражение с $n$ радикалами через $a_n$:

$a_n = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}$ ($n$ радикалов).

Это можно записать в виде рекуррентной последовательности:

$a_1 = \sqrt{6}$

$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$

Нам нужно доказать, что $a_n < 3$ для любого натурального числа $n$.

База индукции

Проверим утверждение для $n=1$.

$a_1 = \sqrt{6}$.

Необходимо проверить, верно ли, что $\sqrt{6} < 3$.

Возведем обе части неравенства в квадрат, так как они обе положительны:

$(\sqrt{6})^2 < 3^2$

$6 < 9$

Неравенство верно. База индукции выполняется.

Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $a_k < 3$.

Индукционный шаг

Докажем, что из предположения следует верность неравенства для $k+1$, то есть $a_{k+1} < 3$.

По определению, $a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k}$.

Воспользуемся индукционным предположением $a_k < 3$. Прибавим 6 к обеим частям этого неравенства:

$a_k + 6 < 3 + 6$

$a_k + 6 < 9$

Поскольку $a_k$ (как корень) является положительным числом, то и $a_k + 6$ тоже положительно. Мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$\sqrt{a_k + 6} < \sqrt{9}$

Левая часть — это $a_{k+1}$, а правая — это 3. Таким образом, мы получаем:

$a_{k+1} < 3$

Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции мы доказали, что неравенство $a_n < 3$ верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Неравенство доказано.