Номер 34.16, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.16, страница 280.

Условие.

34.16. Докажите, что разложение на простые множители числа $a_n = (n + 1)(n + 2) \cdot \ldots \cdot 2n$ содержит ровно $n$ множителей, каждый из которых равен 2.

Решение.

Заметим, что формулировка задачи, скорее всего, не совсем точна. Если понимать её буквально, то требуется доказать, что $a_n = (n + 1)(n + 2) \cdot \ldots \cdot 2n = 2^n$. Это утверждение неверно для любого $n > 1$. Например, при $n=2$ имеем $a_2 = (2+1)(2 \cdot 2) = 3 \cdot 4 = 12$, в то время как $2^2=4$.

Более вероятная и общепринятая трактовка этой задачи заключается в том, чтобы доказать, что в разложении числа $a_n$ на простые множители простой множитель 2 встречается ровно $n$ раз. То есть, показатель степени двойки в каноническом разложении $a_n$ равен $n$. Докажем это утверждение.

Сначала представим число $a_n$ с использованием факториалов, чтобы упростить анализ:

$a_n = (n + 1)(n + 2) \cdot \ldots \cdot 2n = \frac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} = \frac{(2n)!}{n!}$

Для нахождения показателя степени простого числа $p$ в разложении числа $k!$ (обозначается как $v_p(k!)$) используется формула Лежандра:

$v_p(k!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{k}{p^i} \rfloor$

где $\lfloor x \rfloor$ обозначает функцию "пол", то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Нам необходимо найти показатель степени двойки в разложении числа $a_n$, то есть $v_2(a_n)$. Этот показатель равен разности показателей для числителя и знаменателя дроби:

$v_2(a_n) = v_2\left(\frac{(2n)!}{n!}\right) = v_2((2n)!) - v_2(n!)$

Применим формулу Лежандра для $p=2$ к $v_2((2n)!)$ и $v_2(n!)$:

$v_2(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{2^i} \rfloor = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{4} \rfloor + \lfloor \frac{n}{8} \rfloor + \ldots$

$v_2((2n)!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{2n}{2^i} \rfloor = \lfloor \frac{2n}{2} \rfloor + \lfloor \frac{2n}{4} \rfloor + \lfloor \frac{2n}{8} \rfloor + \ldots$

Рассмотрим и преобразуем выражение для $v_2((2n)!)$:

$v_2((2n)!) = \lfloor n \rfloor + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{4} \rfloor + \ldots$

Так как $n$ по условию является натуральным числом, то $\lfloor n \rfloor = n$. Следовательно, мы можем переписать выражение следующим образом:

$v_2((2n)!) = n + \left( \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{4} \rfloor + \ldots \right) = n + \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{2^i} \rfloor = n + v_2(n!)$

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для $v_2(a_n)$ и вычислить искомый показатель:

$v_2(a_n) = v_2((2n)!) - v_2(n!) = (n + v_2(n!)) - v_2(n!) = n$

Таким образом, мы доказали, что в разложении числа $a_n$ на простые множители множитель 2 содержится ровно $n$ раз, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что показатель степени 2 в разложении числа $a_n = (n + 1)(n + 2) \cdot \ldots \cdot 2n$ на простые множители равен $n$.