Номер 34.14, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.14, страница 280.

Условие.

34.14. Докажите неравенство $\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}}_{n \text{ радикалов}} < 2$.

Решение.

Докажем данное неравенство методом математической индукции.

Обозначим выражение в левой части неравенства через $a_n$, где $n$ — количество вложенных радикалов:

$a_n = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}$ ($n$ радикалов).

Требуется доказать, что $a_n < 2$ для любого натурального числа $n \ge 1$.

База индукции. Проверим утверждение для $n=1$. Имеем $a_1 = \sqrt{2}$. Так как $2 < 4$, то $\sqrt{2} < \sqrt{4}$, что равносильно $a_1 < 2$. Таким образом, для $n=1$ неравенство верно.

Индукционный переход. Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $a_k < 2$. Это наше индукционное предположение. Докажем, что из этого следует верность неравенства и для $k+1$, то есть докажем, что $a_{k+1} < 2$.

По определению, $a_{k+1}$ выражается через $a_k$ как $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}$.

Воспользуемся индукционным предположением $a_k < 2$. Прибавим 2 к обеим частям этого неравенства:

$2 + a_k < 2 + 2$

$2 + a_k < 4$

Так как $a_k$ по определению является положительным числом, то выражение $2 + a_k$ также положительно. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохраняя его знак:

$\sqrt{2 + a_k} < \sqrt{4}$

Слева стоит $a_{k+1}$, а справа 2. Таким образом, мы получаем:

$a_{k+1} < 2$

Индукционный переход доказан: если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

Вывод. Поскольку утверждение верно для $n=1$ (база индукции) и из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$ (индукционный переход), по принципу математической индукции данное неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Неравенство доказано.