Номер 34.10, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.10, страница 280.

Условие.

34.10. Докажите, что

$|a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + |a_3| + ... + |a_n|$.

Решение.

Данное неравенство, известное как обобщенное неравенство треугольника, доказывается с помощью метода математической индукции.

1. База индукции

Сначала докажем неравенство для $n=2$: $|a_1 + a_2| \le |a_1| + |a_2|$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(|a_1 + a_2|)^2 \le (|a_1| + |a_2|)^2$

Используя свойство $|x|^2 = x^2$, получаем:

$(a_1 + a_2)^2 \le |a_1|^2 + 2|a_1||a_2| + |a_2|^2$

$a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \le a_1^2 + 2|a_1a_2| + a_2^2$

Вычтем из обеих частей $a_1^2$ и $a_2^2$:

$2a_1a_2 \le 2|a_1a_2|$

$a_1a_2 \le |a_1a_2|$

Последнее неравенство верно для любых действительных чисел $a_1$ и $a_2$, так как любое число не превосходит своего модуля. Таким образом, база индукции верна.

2. Индукционное предположение

Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k \ge 2$:

$|a_1 + a_2 + ... + a_k| \le |a_1| + |a_2| + ... + |a_k|$

3. Индукционный шаг

Докажем, что неравенство верно и для $n = k+1$. То есть, нам нужно доказать:

$|a_1 + a_2 + ... + a_k + a_{k+1}| \le |a_1| + |a_2| + ... + |a_k| + |a_{k+1}|$

Рассмотрим левую часть неравенства и сгруппируем первые $k$ слагаемых:

$|a_1 + a_2 + ... + a_{k+1}| = |(a_1 + a_2 + ... + a_k) + a_{k+1}|$

Применим к полученному выражению доказанное нами неравенство для двух слагаемых (базу индукции), где в качестве первого слагаемого выступает сумма $(a_1 + a_2 + ... + a_k)$, а в качестве второго — $a_{k+1}$:

$|(a_1 + a_2 + ... + a_k) + a_{k+1}| \le |a_1 + a_2 + ... + a_k| + |a_{k+1}|$

Теперь воспользуемся индукционным предположением для первого слагаемого в правой части:

$|a_1 + a_2 + ... + a_k| \le |a_1| + |a_2| + ... + |a_k|$

Подставив это в наше неравенство, получим:

$|a_1 + a_2 + ... + a_k| + |a_{k+1}| \le (|a_1| + |a_2| + ... + |a_k|) + |a_{k+1}|$

Объединяя шаги, мы доказали, что:

$|a_1 + a_2 + ... + a_{k+1}| \le |a_1| + |a_2| + ... + |a_k| + |a_{k+1}|$

Шаг индукции доказан. Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции исходное неравенство справедливо для любого натурального $n$.

Ответ: Неравенство доказано.