Номер 34.5, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.5, страница 279.

Условие.

34.5. Докажите, что при любом натуральном $n \ge 2$ выполняется равенство

$(1 - \frac{1}{4})(1 - \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{16}) \cdots (1 - \frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n}$

Решение.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Обозначим произведение в левой части как $P(n)$.

$P(n) = (1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})(1-\frac{1}{16})\cdot \ldots \cdot (1-\frac{1}{n^2})$

Заметим, что знаменатели в дробях являются квадратами натуральных чисел, начиная с 2: $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, и так далее. Таким образом, произведение можно записать в общем виде:

$P(n) = \prod_{k=2}^{n} (1 - \frac{1}{k^2})$

Преобразуем общий член произведения $1 - \frac{1}{k^2}$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k \cdot k}$

Теперь запишем все произведение с преобразованными членами:

$P(n) = \frac{(2-1)(2+1)}{2 \cdot 2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3 \cdot 3} \cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4 \cdot 4} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}$

$P(n) = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}$

Перегруппируем множители, чтобы разделить их на две части. Произведение можно представить как произведение двух рядов:

$P(n) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{n+1}{n}\right)$

В каждом из этих произведений происходит телескопическое сокращение членов.

Рассмотрим первое произведение:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{n-1}}{n} = \frac{1}{n}$

Рассмотрим второе произведение:

$\frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{n+1}{\cancel{n}} = \frac{n+1}{2}$

Теперь перемножим результаты:

$P(n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$

Мы получили, что левая часть исходного равенства равна $\frac{n+1}{2n}$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: Равенство доказано.