Номер 34.2, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.2, страница 279.

Условие.

34.2. Рассмотрите значение многочлена $f(n)=n^2+n+17$ при $n=1$, $n=2$, $n=3$, $n=4$, $n=5$. Сделайте предположение. Установите, является ли верной высказанная гипотеза.

Решение.

Рассмотрите значение многочлена $f(n)=n^2+n+17$ при $n=1, n=2, n=3, n=4, n=5$.

Вычислим значения многочлена для заданных значений $n$:

• При $n=1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 17 = 1 + 1 + 17 = 19$.
• При $n=2$: $f(2) = 2^2 + 2 + 17 = 4 + 2 + 17 = 23$.
• При $n=3$: $f(3) = 3^2 + 3 + 17 = 9 + 3 + 17 = 29$.
• При $n=4$: $f(4) = 4^2 + 4 + 17 = 16 + 4 + 17 = 37$.
• При $n=5$: $f(5) = 5^2 + 5 + 17 = 25 + 5 + 17 = 47$.

Получены следующие значения: 19, 23, 29, 37, 47.

Сделайте предположение.

Проанализируем полученные числа: 19, 23, 29, 37, 47. Все они являются простыми числами (делятся только на 1 и на самих себя). На основании этого можно сделать следующее предположение (выдвинуть гипотезу).

Гипотеза: При любом натуральном значении $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 17$ является простым числом.

Установите, является ли верной высказанная гипотеза.

Чтобы проверить гипотезу, нужно либо доказать ее справедливость для всех натуральных $n$, либо найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное $n$, при котором значение $f(n)$ будет составным числом.

Попробуем найти контрпример. Рассмотрим значение многочлена при $n=16$:

$f(16) = 16^2 + 16 + 17 = 256 + 16 + 17 = 289$.

Число 289 является составным, так как оно делится на 17: $289 = 17 \times 17 = 17^2$.

Другой контрпример можно найти, если заметить, что $f(n) = n(n+1) + 17$. При $n=17$ получим:

$f(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17 \times (17 + 1 + 1) = 17 \times 19$.

Это число также является составным.

Поскольку мы нашли контрпример (например, $n=16$), при котором значение многочлена является составным числом, высказанная гипотеза неверна.

Ответ: значения многочлена для $n=1,2,3,4,5$ равны соответственно 19, 23, 29, 37, 47. На основании этих данных можно выдвинуть гипотезу, что при любом натуральном $n$ значение $f(n)$ является простым числом. Эта гипотеза неверна, так как, например, при $n=16$ значение $f(16)=289$, которое является составным числом ($289=17^2$).