Номер 33.6, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.6, страница 267.

Условие.

33.6 Пусть числа $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $6x^3 + px^2 - qx + 18 = 0$.

Найдите $x_1x_2$, если $x_3 = 3$.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Согласно этой теореме, для корней $x_1$, $x_2$, $x_3$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

В нашем уравнении $6x^3 + px^2 - qx + 18 = 0$ коэффициенты следующие: $a = 6$, $b = p$, $c = -q$ и $d = 18$.

Для нахождения произведения $x_1x_2$ наиболее удобно использовать формулу для произведения всех трех корней, так как она не содержит неизвестных параметров $p$ и $q$.

Применим третье соотношение из теоремы Виета:

$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Подставим значения коэффициентов $a=6$ и $d=18$ из данного уравнения:

$x_1x_2x_3 = -\frac{18}{6}$

$x_1x_2x_3 = -3$

По условию задачи, один из корней $x_3 = 3$. Подставим это значение в полученное равенство:

$x_1x_2 \cdot 3 = -3$

Теперь, чтобы найти искомое значение $x_1x_2$, разделим обе части уравнения на 3:

$x_1x_2 = \frac{-3}{3}$

$x_1x_2 = -1$

Ответ: -1