Номер 32.20, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.20, страница 263.

Условие.

32.20. При каких значениях параметра $a$ сумма корней уравнения $x^2 - (a^2 + 2a) x - a = 0$ равна 3?

Решение.

Данное уравнение $x^2 - (a^2 + 2a)x - a = 0$ является квадратным. Сумма его корней, $x_1$ и $x_2$, может быть найдена с помощью теоремы Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$. В данном уравнении коэффициент $p = -(a^2 + 2a)$.

Следовательно, сумма корней равна:

$x_1 + x_2 = -(-(a^2 + 2a)) = a^2 + 2a$

По условию задачи, сумма корней должна быть равна 3. Составим и решим уравнение относительно параметра $a$:

$a^2 + 2a = 3$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти, например, разложив на множители:

$(a - 1)(a + 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = -3$.

Однако, чтобы говорить о сумме действительных корней, необходимо, чтобы эти корни существовали. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$) исходного уравнения.

Найдем дискриминант $D$ для уравнения $x^2 - (a^2 + 2a)x - a = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-(a^2 + 2a))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = (a^2 + 2a)^2 + 4a$

Теперь проверим каждое из найденных значений $a$:

1. При $a = 1$:

$D = (1^2 + 2 \cdot 1)^2 + 4 \cdot 1 = (3)^2 + 4 = 13$

Поскольку $D = 13 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и их сумма равна 3. Значит, $a = 1$ является решением.

2. При $a = -3$:

$D = ((-3)^2 + 2 \cdot (-3))^2 + 4 \cdot (-3) = (9 - 6)^2 - 12 = 3^2 - 12 = 9 - 12 = -3$

Поскольку $D = -3 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, значение $a = -3$ не является решением задачи.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию, — это $a=1$.

Ответ: $1$.