Номер 32.17, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.17, страница 263.

Условие.

32.17. Степень многочлена $P(x)$ равна 100. Известно, что $P(-1) = P(1)$, $P(-2) = P(2)$, ..., $P(-50) = P(50)$. Верно ли, что для любого $x \in \mathbf{R}$ выполняется равенство $P(-x) = P(x)$?

Решение.

Рассмотрим вспомогательный многочлен $Q(x) = P(x) - P(-x)$. Вопрос задачи эквивалентен вопросу: верно ли, что $Q(x)$ является тождественным нулём, то есть $Q(x) = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$?

Сначала определим степень многочлена $Q(x)$. Пусть многочлен $P(x)$ имеет вид:$P(x) = a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots + a_1x + a_0$. По условию, степень $P(x)$ равна 100, значит, старший коэффициент $a_{100} \neq 0$.

Тогда $P(-x)$ будет равен:$P(-x) = a_{100}(-x)^{100} + a_{99}(-x)^{99} + \dots + a_1(-x) + a_0 = a_{100}x^{100} - a_{99}x^{99} + \dots - a_1x + a_0$.

Теперь составим выражение для $Q(x)$:$Q(x) = P(x) - P(-x) = (a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots) - (a_{100}x^{100} - a_{99}x^{99} + \dots) = 2a_{99}x^{99} + 2a_{97}x^{97} + \dots + 2a_1x$. Как видно, член со степенью 100 сокращается. Таким образом, степень многочлена $Q(x)$ не превосходит 99, то есть $\deg(Q) \le 99$.

Теперь используем условия, данные в задаче: $P(-k) = P(k)$ для $k = 1, 2, \dots, 50$. Для этих значений $k$ мы имеем:$Q(k) = P(k) - P(-k) = 0$. Это означает, что числа $1, 2, \dots, 50$ (всего 50 чисел) являются корнями многочлена $Q(x)$.

Рассмотрим также значения $Q(x)$ в точках $-k$ для $k = 1, 2, \dots, 50$:$Q(-k) = P(-k) - P(-(-k)) = P(-k) - P(k)$. Поскольку по условию $P(-k) = P(k)$, то $Q(-k) = P(k) - P(k) = 0$. Следовательно, числа $-1, -2, \dots, -50$ (еще 50 чисел) также являются корнями многочлена $Q(x)$.

Наконец, проверим значение $Q(x)$ в точке $x=0$:$Q(0) = P(0) - P(-0) = P(0) - P(0) = 0$. Значит, $x=0$ также является корнем $Q(x)$.

Таким образом, мы нашли, что многочлен $Q(x)$ имеет как минимум $50 + 50 + 1 = 101$ различный корень: $0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 50$.

С одной стороны, степень многочлена $Q(x)$ не превышает 99. С другой стороны, мы нашли у него 101 различный корень. Единственный многочлен, у которого число корней превышает его степень, — это тождественно нулевой многочлен.

Следовательно, $Q(x) = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что $P(x) - P(-x) = 0$, или $P(x) = P(-x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Да, верно.