Номер 32.11, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.11, страница 263.

Условие.

32.11. При каких значениях параметров $a, b$ и $c$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + c$ делится нацело на двучлены $x - 1$ и $x + 2$, а при делении на двучлен $x + 1$ даёт в остатке 10?

Решение.

Обозначим данный многочлен как $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу (или следствием из нее), которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - k$ равен значению многочлена в точке $k$, то есть $P(k)$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Многочлен $P(x)$ делится нацело на $x - 1$. Это означает, что остаток от деления равен нулю. По теореме Безу, $P(1) = 0$.
$P(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 + a + b + c = 0$.

2. Многочлен $P(x)$ делится нацело на $x + 2$ (то есть на $x - (-2)$). Это означает, что остаток от деления также равен нулю. По теореме Безу, $P(-2) = 0$.
$P(-2) = (-2)^3 + a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = -8 + 4a - 2b + c = 0$.

3. При делении многочлена $P(x)$ на $x + 1$ (то есть на $x - (-1)$) остаток равен 10. По теореме Безу, $P(-1) = 10$.
$P(-1) = (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = -1 + a - b + c = 10$.

Таким образом, мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $a, b$ и $c$. Запишем ее в стандартном виде:

(1) $a + b + c = -1$
(2) $4a - 2b + c = 8$
(3) $a - b + c = 11$

Решим эту систему. Удобно вычесть уравнение (1) из уравнения (3):

$(a - b + c) - (a + b + c) = 11 - (-1)$
$a - b + c - a - b - c = 12$
$-2b = 12$
$b = -6$

Теперь подставим найденное значение $b = -6$ в уравнения (1) и (2), чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Из (1): $a + (-6) + c = -1 \implies a + c = 5$ (4)
Из (2): $4a - 2(-6) + c = 8 \implies 4a + 12 + c = 8 \implies 4a + c = -4$ (5)

Теперь решим систему уравнений (4) и (5). Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

$(4a + c) - (a + c) = -4 - 5$
$4a + c - a - c = -9$
$3a = -9$
$a = -3$

Наконец, найдем $c$, подставив значение $a = -3$ в уравнение (4):

$-3 + c = 5$
$c = 5 + 3$
$c = 8$

Итак, искомые значения параметров: $a = -3$, $b = -6$ и $c = 8$.

Ответ: $a = -3, b = -6, c = 8$.