Номер 32.10, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.10, страница 263.

Условие.

32.10. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $A(x) = 3x^4 + 5x^3 + ax^2 + bx + 10$ делится нацело на многочлен $B(x) = x^2 + x - 2$?

Решение.

Для того чтобы многочлен $A(x) = 3x^4 + 5x^3 + ax^2 + bx + 10$ делился нацело на многочлен $B(x) = x^2 + x - 2$, необходимо, чтобы корни многочлена $B(x)$ были также корнями многочлена $A(x)$.

Найдем корни многочлена $B(x)$, решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь подставим эти корни в многочлен $A(x)$ и приравняем результат к нулю.

1. Для корня $x_1 = 1$:
$A(1) = 3(1)^4 + 5(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 10 = 0$
$3 + 5 + a + b + 10 = 0$
$a + b + 18 = 0$
$a + b = -18$

2. Для корня $x_2 = -2$:
$A(-2) = 3(-2)^4 + 5(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 10 = 0$
$3 \cdot 16 + 5 \cdot (-8) + a \cdot 4 - 2b + 10 = 0$
$48 - 40 + 4a - 2b + 10 = 0$
$18 + 4a - 2b = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$9 + 2a - b = 0$
$2a - b = -9$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = -18 \\ 2a - b = -9 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить $b$:
$(a + b) + (2a - b) = -18 + (-9)$
$3a = -27$
$a = -9$

Подставим найденное значение $a = -9$ в первое уравнение системы:
$-9 + b = -18$
$b = -18 + 9$
$b = -9$

Таким образом, многочлен $A(x)$ делится нацело на $B(x)$ при значениях параметров $a = -9$ и $b = -9$.

Ответ: $a = -9, b = -9$.