Номер 32.9, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.9, страница 263.

Условие.

32.9. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$:

1) $A(x) = 2x^3 - x^2 + ax + b$, $B(x) = x^2 - 1$;

2) $A(x) = 6x^4 - x^3 + ax^2 + bx + 4$, $B(x) = x^2 - 4$?

Решение.

1) $A(x) = 2x^3 - x^2 + ax + b, B(x) = x^2 - 1$

Для того чтобы многочлен $A(x)$ делился нацело на многочлен $B(x)$, необходимо и достаточно, чтобы все корни многочлена $B(x)$ были также корнями многочлена $A(x)$ (согласно теореме Безу).

Найдем корни многочлена $B(x)$:$x^2 - 1 = 0$$(x - 1)(x + 1) = 0$Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, значения многочлена $A(x)$ в этих точках должны быть равны нулю: $A(1) = 0$ и $A(-1) = 0$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} A(1) = 2(1)^3 - (1)^2 + a \cdot 1 + b = 0 \\ A(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 + a \cdot (-1) + b = 0\end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} 2 - 1 + a + b = 0 \\ -2 - 1 - a + b = 0\end{cases}$

$\begin{cases} 1 + a + b = 0 \\ -3 - a + b = 0\end{cases}$

$\begin{cases} a + b = -1 \\ -a + b = 3\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(a + b) + (-a + b) = -1 + 3$$2b = 2$$b = 1$

Подставим найденное значение $b$ в первое уравнение:

$a + 1 = -1$$a = -2$

Ответ: $a = -2, b = 1$.

2) $A(x) = 6x^4 - x^3 + ax^2 + bx + 4, B(x) = x^2 - 4$

Аналогично первому пункту, найдем корни многочлена $B(x)$:$x^2 - 4 = 0$$(x - 2)(x + 2) = 0$Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Значения многочлена $A(x)$ в этих точках должны быть равны нулю: $A(2) = 0$ и $A(-2) = 0$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} A(2) = 6(2)^4 - (2)^3 + a(2)^2 + b \cdot 2 + 4 = 0 \\ A(-2) = 6(-2)^4 - (-2)^3 + a(-2)^2 + b \cdot (-2) + 4 = 0\end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} 6 \cdot 16 - 8 + 4a + 2b + 4 = 0 \\ 6 \cdot 16 - (-8) + 4a - 2b + 4 = 0\end{cases}$

$\begin{cases} 96 - 8 + 4a + 2b + 4 = 0 \\ 96 + 8 + 4a - 2b + 4 = 0\end{cases}$

$\begin{cases} 92 + 4a + 2b = 0 \\ 108 + 4a - 2b = 0\end{cases}$

Разделим каждое уравнение на 2, чтобы упростить коэффициенты:

$\begin{cases} 46 + 2a + b = 0 \\ 54 + 2a - b = 0\end{cases}$

$\begin{cases} 2a + b = -46 \\ 2a - b = -54\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(2a + b) + (2a - b) = -46 + (-54)$$4a = -100$$a = -25$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:

$2(-25) + b = -46$$-50 + b = -46$$b = -46 + 50$$b = 4$

Ответ: $a = -25, b = 4$.