Номер 32.2, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.2, страница 262.

Условие.

32.2. Найдите остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $B(x)$:

1) $A(x) = 2x^3 - 7x^2 + x + 3$, $B(x) = x - 4$;

2) $A(x) = 6x^4 - 5x^3 - 53x^2 + 45x - 9$, $B(x) = x + 1$.

Решение.

Для нахождения остатка от деления многочлена $A(x)$ на двучлен вида $B(x) = x - c$ используется теорема Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления $A(x)$ на $x - c$ равен значению многочлена $A(x)$ в точке $c$, то есть $R = A(c)$.

1) $A(x) = 2x^3 - 7x^2 + x + 3$, $B(x) = x - 4$.

Чтобы найти остаток от деления $A(x)$ на $B(x)$, нужно найти корень двучлена $B(x)$ и подставить его в многочлен $A(x)$.
$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
Остаток $R$ равен значению $A(4)$:
$R = A(4) = 2 \cdot 4^3 - 7 \cdot 4^2 + 4 + 3 = 2 \cdot 64 - 7 \cdot 16 + 4 + 3 = 128 - 112 + 7 = 16 + 7 = 23$.

Ответ: 23.

2) $A(x) = 6x^4 - 5x^3 - 53x^2 + 45x - 9$, $B(x) = x + 1$.

Найдём корень двучлена $B(x)$:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
Остаток $R$ равен значению $A(-1)$:
$R = A(-1) = 6 \cdot (-1)^4 - 5 \cdot (-1)^3 - 53 \cdot (-1)^2 + 45 \cdot (-1) - 9$
$R = 6 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) - 53 \cdot 1 - 45 - 9 = 6 + 5 - 53 - 45 - 9 = 11 - 107 = -96$.

Ответ: -96.