Номер 31.7, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.7, страница 258.

Условие.

31.7. Выделите целую часть из рациональной дроби:

1) $\frac{2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 1}{x^2 - 1}$;

2) $\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}$.

Решение.

1)

Чтобы выделить целую часть из рациональной дроби $\frac{2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 1}{x^2 - 1}$, нужно разделить многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Это можно сделать "уголком".

Шаг 1. Делим старший член делимого ($2x^4$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем первый член частного: $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2$.

Умножаем полученный член на делитель $x^2 - 1$: $2x^2(x^2 - 1) = 2x^4 - 2x^2$.

Вычитаем результат из делимого:

$(2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 1) - (2x^4 - 2x^2) = -3x^3 + 6x^2 + 1$.

Шаг 2. Делим старший член нового делимого ($-3x^3$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем второй член частного: $\frac{-3x^3}{x^2} = -3x$.

Умножаем $-3x$ на делитель: $-3x(x^2 - 1) = -3x^3 + 3x$.

Вычитаем результат из $-3x^3 + 6x^2 + 1$:

$(-3x^3 + 6x^2 + 1) - (-3x^3 + 3x) = 6x^2 - 3x + 1$.

Шаг 3. Делим старший член нового делимого ($6x^2$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем третий член частного: $\frac{6x^2}{x^2} = 6$.

Умножаем $6$ на делитель: $6(x^2 - 1) = 6x^2 - 6$.

Вычитаем результат из $6x^2 - 3x + 1$:

$(6x^2 - 3x + 1) - (6x^2 - 6) = -3x + 7$.

Степень остатка $-3x + 7$ (равная 1) меньше степени делителя $x^2 - 1$ (равной 2), поэтому деление закончено. Целая часть (частное) равна $2x^2 - 3x + 6$.

В результате деления получаем:

$\frac{2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 1}{x^2 - 1} = 2x^2 - 3x + 6 + \frac{-3x + 7}{x^2 - 1}$

Ответ: $2x^2 - 3x + 6$

2)

Выделим целую часть из дроби $\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}$, выполнив деление многочленов "уголком".

Шаг 1. Делим $x^4$ на $x^2$, получаем $x^2$.

$(x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1) - x^2(x^2 + x - 2) = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1) - (x^4 + x^3 - 2x^2) = -3x^3 + 5x^2 + 4x + 1$.

Шаг 2. Делим $-3x^3$ на $x^2$, получаем $-3x$.

$(-3x^3 + 5x^2 + 4x + 1) - (-3x(x^2 + x - 2)) = (-3x^3 + 5x^2 + 4x + 1) - (-3x^3 - 3x^2 + 6x) = 8x^2 - 2x + 1$.

Шаг 3. Делим $8x^2$ на $x^2$, получаем $8$.

$(8x^2 - 2x + 1) - 8(x^2 + x - 2) = (8x^2 - 2x + 1) - (8x^2 + 8x - 16) = -10x + 17$.

Степень остатка $-10x + 17$ меньше степени делителя $x^2 + x - 2$, деление закончено. Целая часть (частное) равна $x^2 - 3x + 8$.

В результате деления получаем:

$\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2} = x^2 - 3x + 8 + \frac{-10x + 17}{x^2 + x - 2}$

Ответ: $x^2 - 3x + 8$