Вопросы?, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - страница 257.

Условие.

1. В каком случае говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$?

2. Каково необходимое условие деления нацело одного ненулевого многочлена на другой ненулевой многочлен?

3. Сформулируйте теорему о делении многочленов с остатком.

4. Как называют многочлены $Q(x)$ и $R(x)$ в записи $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, если степень многочлена $R(x)$ меньше степени многочлена $B(x)$ или $R(x)$ — нулевой многочлен?

5. Представление в каком виде рациональной дроби называют выделением целой части из рациональной дроби?

Решение.

1. В каком случае говорят, что многочлен A(x) делится нацело на многочлен B(x)?

Говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на ненулевой многочлен $B(x)$, если существует такой многочлен $Q(x)$, что выполняется равенство $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$. Это также означает, что при делении многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ остаток равен нулю ($R(x) = 0$).
Ответ: Многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, если существует такой многочлен $Q(x)$, что $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$.

2. Каково необходимое условие деления нацело одного ненулевого многочлена на другой ненулевой многочлен?

Для того чтобы один ненулевой многочлен $A(x)$ мог делиться нацело на другой ненулевой многочлен $B(x)$, необходимо, чтобы степень многочлена-делимого $A(x)$ была не меньше степени многочлена-делителя $B(x)$. Если степень $A(x)$ меньше степени $B(x)$, то деление нацело невозможно, так как частное будет равно нулю, а остаток — самому многочлену $A(x)$.
Ответ: Необходимое условие деления нацело многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ (где $A(x) \neq 0$ и $B(x) \neq 0$) — это выполнение неравенства $\text{deg}(A(x)) \ge \text{deg}(B(x))$, где $\text{deg}$ обозначает степень многочлена.

3. Сформулируйте теорему о делении многочленов с остатком.

Для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель), где $B(x)$ — ненулевой многочлен, существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такая, что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$
причем либо степень многочлена $R(x)$ строго меньше степени многочлена $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.
Ответ: Для любых многочленов $A(x)$ и $B(x) \neq 0$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ и $R(x)$, такие что $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $\text{deg}(R(x)) < \text{deg}(B(x))$ или $R(x)=0$.

4. Как называют многочлены Q(x) и R(x) в записи A(x) = B(x) · Q(x) + R(x), если степень многочлена R(x) меньше степени многочлена B(x) или R(x) — нулевой многочлен?

В записи $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ при указанных условиях на многочлен $R(x)$ многочлен $Q(x)$ называют неполным частным (или просто частным) от деления $A(x)$ на $B(x)$, а многочлен $R(x)$ называют остатком от деления.
Ответ: Многочлен $Q(x)$ называют неполным частным, а многочлен $R(x)$ — остатком.

5. Представление в каком виде рациональной дроби называют выделением целой части из рациональной дроби?

Выделением целой части из рациональной дроби $\frac{A(x)}{B(x)}$ называют ее представление в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (дробной части), у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Это представление получают путем деления многочлена $A(x)$ на $B(x)$ с остатком: $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$. Разделив обе части этого равенства на $B(x)$, получают искомый вид:
$\frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)}$
Здесь $Q(x)$ — это целая часть, а $\frac{R(x)}{B(x)}$ — правильная дробная часть (так как $\text{deg}(R(x)) < \text{deg}(B(x))$).
Ответ: Представление рациональной дроби $\frac{A(x)}{B(x)}$ в виде $\frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)}$, где $Q(x)$ — многочлен (целая часть), а степень многочлена $R(x)$ меньше степени многочлена $B(x)$.